显式和隐式方法

考虑常微分方程

${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=-y^{2},\ t\in [0,a]\quad \quad (2)}$ 

初始条件是${\displaystyle y(0)=1}$ 。考虑格点${\displaystyle t_{k}=a{\frac {k}{n}}}$ ，0 ≤ k ≤ n，意思是，时间间隔是${\displaystyle \Delta t=a/n,}$ ，且${\displaystyle y_{k}=y(t_{k})}$ 。用最简单的显式和隐式方法将此方程式离散化，分别是“前向欧拉方法”及“后向欧拉方法”，并且比较其差异。

前向欧拉方法

前向欧拉方法

${\displaystyle \left({\frac {dy}{dt}}\right)_{k}\approx {\frac {y_{k+1}-y_{k}}{\Delta t}}=-y_{k}^{2}}$ 

可得

${\displaystyle y_{k+1}=y_{k}-\Delta ty_{k}^{2}\quad \quad \quad (3)\,}$ 

对所有${\displaystyle k=0,1,\dots ,n.}$ ，这是${\displaystyle y_{k+1}}$ 的显式公式。

后向欧拉方法

用后向欧拉方法（英语：backward Euler method）

${\displaystyle {\frac {y_{k+1}-y_{k}}{\Delta t}}=-y_{k+1}^{2}}$ 

可以得到${\displaystyle y_{k+1}}$ 的隐式方程

${\displaystyle y_{k+1}+\Delta ty_{k+1}^{2}=y_{k}}$ 

比较上式和公式(3)，公式(3)的${\displaystyle y_{k+1}}$ 可以直接求得，而此处是方程式中的未知数，需要求解。

这是一元二次方程，有一个正根和一个负根，因为其初值为正，选择其正根，则下一步的${\displaystyle y}$ 为

${\displaystyle y_{k+1}={\frac {-1+{\sqrt {1+4\Delta ty_{k}}}}{2\Delta t}}.\quad \quad (4)}$ 

大部分的隐式方程中，要求解的方程会比一元二次方程复杂的多，也有可能不存在解析解，因此需要用其他求根算法（例如牛顿法）来求得数值解。

克兰克－尼科尔森方法

用克兰克－尼科尔森方法

${\displaystyle {\frac {y_{k+1}-y_{k}}{\Delta t}}=-{\frac {1}{2}}y_{k+1}^{2}-{\frac {1}{2}}y_{k}^{2}}$ 

可以求得${\displaystyle y_{k+1}}$ 的隐式方程

${\displaystyle y_{k+1}+{\frac {1}{2}}\Delta ty_{k+1}^{2}=y_{k}-{\frac {1}{2}}\Delta ty_{k}^{2}}$ 

这可以用求根算法（例如牛顿法）来求得${\displaystyle y_{k+1}}$ 的数值解。

克兰克－尼科尔森方法可以视为是通用的IMEX（Implicit-Explicit，隐式-显式）架构。

前向-后向欧拉方法

为了应用IMEX架构，考虑另一个微分方程:

${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=y-y^{2},\ t\in [0,a]\quad \quad (5)}$ 

可以得到

${\displaystyle \left({\frac {dy}{dt}}\right)_{k}\approx y_{k+1}-y_{k}^{2},\ t\in [0,a]}$ 

因此

${\displaystyle y_{k+1}={\frac {y_{k}(1-y_{k}\Delta t)}{1-\Delta t}}\quad \quad (6)}$ 

针对${\displaystyle k=0,1,\dots ,n}$ 

• Courant–Friedrichs–Lewy条件（英语：Courant–Friedrichs–Lewy condition）
• SIMPLE算法，压力耦合方程组的半隐式方法