对于 给定点的数据集 ,我们可以用 段三次多项式在数据点之间构建一个三次样条。如果
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表示对函数 进行插值的样条函数,那么需要:
- 插值特性,
- 样条相互连接,
- 两次连续可导, 以及 .
由于每个三次多项式需要四个条件才能确定曲线形状,所以对于组成 的 个三次多项式来说,这就意味着需要 个条件才能确定这些多项式。但是,插值特性只给出了 个条件,内部数据点给出 个条件,总计是 个条件。我们还需要另外两个条件,根据不同的因素我们可以使用不同的条件。
其中一项选择条件可以得到给定 与 的钳位三次样条,
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另外,我们可以设
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这样就得到自然三次样条。自然三次样条几乎等同于样条设备生成的曲线。
在这些所有的二次连续可导函数中,钳位与自然三次样条可以得到相对于待插值函数f的最小震荡。
如果选择另外一些条件,
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可以得到周期性的三次样条。
如果选择,
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可以得到complete三次样条。
三次样条的最小性
三次样条有另外一个非常重要的解释,实际上它是在索伯列夫空间 最小化泛函
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的函数。
泛函 包含对于函数 全部曲率 的近似,样条是 最小曲率的近似。
由于弹性条的总体能量与曲率成比例,所以样条是受到 个点约束的弹性条的最小能量形状。样条也是基于弹性条设计的工具。
使用自然三次样条的插值
它可以定义为
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以及
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通过解下面的方程可以得到它的系数。
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