最小相位

一系统${\displaystyle \mathbb {H} }$ 可逆的条件是可以由其输出找到唯一对应的输入，也就是可以找到系统${\displaystyle \mathbb {H} _{inv}}$ 使得若将${\displaystyle \mathbb {H} }$ 及${\displaystyle \mathbb {H} _{inv}}$ 二个系统连接，可以得到单位系统${\displaystyle \mathbb {I} }$ （可以参反矩阵）。

${\displaystyle \mathbb {H} _{inv}\,\mathbb {H} =\mathbb {I} }$ 

假设${\displaystyle {\tilde {x}}}$ 为系统${\displaystyle \mathbb {H} }$ 的输入，其输出为${\displaystyle {\tilde {y}}}$ 

${\displaystyle \mathbb {H} \,{\tilde {x}}={\tilde {y}}}$ 

将${\displaystyle {\tilde {y}}}$ 作为逆系统的输入，可得：

${\displaystyle \mathbb {H} _{inv}\,{\tilde {y}}=\mathbb {H} _{inv}\,\mathbb {H} \,{\tilde {x}}=\mathbb {I} \,{\tilde {x}}={\tilde {x}}}$ 

因此可以用逆系统${\displaystyle \mathbb {H} _{inv}}$ ，找到输出${\displaystyle {\tilde {y}}}$ 对应的唯一输入${\displaystyle {\tilde {x}}}$ 。

离散时间的例子

假设系统${\displaystyle \mathbb {H} }$ 是离散时间的线性非时变系统（LTI），可以用冲激响应${\displaystyle h(n)}$ （n为整数）表示。而且，假设系统${\displaystyle \mathbb {H} _{inv}}$ 的 冲激响应为${\displaystyle h_{inv}(n)}$ 。二个线性非时变系统的级联为卷积。上述的关系可以以下式表示：

${\displaystyle (h*h_{inv})(n)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }h(k)\,h_{inv}(n-k)=\delta (n)}$ 

其中${\displaystyle \delta (n)}$ 为克罗内克函数或是离散时间下的单位矩阵。注意其逆系统${\displaystyle \mathbb {H} _{inv}}$ 不一定要是唯一的。

若系统再加上因果性且稳定性的条件时，其逆系统就是唯一的，而且系统${\displaystyle \mathbb {H} }$ 和逆系统${\displaystyle \mathbb {H} _{inv}}$ 都是最小相位系统。离散系统下因果性及稳定性的条件如下（针对非时变系统，其中的h为系统的冲激响应）：

因果性

${\displaystyle h(n)=0\,\,\forall \,n<0}$ 

及

${\displaystyle h_{inv}(n)=0\,\,\forall \,n<0}$ 

稳定性

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }{\left|h(n)\right|}=\|h\|_{1}<\infty }$ 

及

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }{\left|h_{inv}(n)\right|}=\|h_{inv}\|_{1}<\infty }$ 

在有界输入有界输出稳定性条目会看到对应连续系统的条件。

离散时间系统的频域分析

将最小相位应用在离散时间系统中可以看出一些其中的特性，其时域方程式如下。

${\displaystyle (h*h_{inv})(n)=\,\!\delta (n)}$ 

进行Z转换后可以得到以下的关系。

${\displaystyle H(z)\,H_{inv}(z)=1}$ 

由于上述关系，可得

${\displaystyle H_{inv}(z)={\frac {1}{H(z)}}}$ 

为了简单起见，只考虑有理传递函数 H (z)。因果性及稳定性表示所有的H (z)极点都需要严格的在单位圆内（参照有界输入有界输出稳定性）。假设

${\displaystyle H(z)={\frac {A(z)}{D(z)}}}$ 

其中A (z)及D (z)是z的多项式。因果性及稳定性会使得D (z)的零点（根）需要严格的在单位圆内（不能在边界上）。而

${\displaystyle H_{inv}(z)={\frac {D(z)}{A(z)}}}$ 

因此${\displaystyle H_{inv}(z)}$ 的因果性及稳定性也会使得为A (z)的零点需要严格的在单位圆内，上述二个条件下，最小相位系统的零点及极点都需要在严格的在单位圆内。

连续时间系统的频域分析

连续时间系统的分析和离散系统类似，不过会使用拉普拉斯变换，其时域的方程式如下。

${\displaystyle (h*h_{inv})(t)=\,\!\delta (t)}$ 

其中${\displaystyle \delta (t)}$ 为狄拉克δ函数。狄拉克δ函数是连续时间下的恒等算子，因为其和任意信号x (t)都会有筛选性质。

${\displaystyle \delta (t)*x(t)=\int _{-\infty }^{\infty }\delta (t-\tau )x(\tau )d\tau =x(t)}$ 

进行拉普拉斯变换可得到以下S平面的关系。

${\displaystyle H(s)\,H_{inv}(s)=1}$ 

也可以得到下式

${\displaystyle H_{inv}(s)={\frac {1}{H(s)}}}$ 

为简化起见，此处也只考虑有理传递函数H(s)。因果性及稳定性表示H (s)的所有极点都要严格的在左半S平面（参考有界输入有界输出稳定性）。假设

${\displaystyle H(s)={\frac {A(s)}{D(s)}}}$ 

其中A (s)及D (s)是s的多项式。${\displaystyle H(s)}$ 的因果性及稳定性表示D (s)的所有零点都在左半S平面内，而

${\displaystyle H_{inv}(s)={\frac {D(s)}{A(s)}}}$ 

${\displaystyle H(s)}$ 的因果性及稳定性表示A (s)的所有零点都在左半S平面内，因此最小相位系统的最有极点及零点都需要严格的在左半S平面内。

增益响应及相位响应的关系

不论是连续时间或是离散时间的最小相位系统，都有一个常会用到的性质：增益频率响应的自然对数（增益的对数单位为奈培，和分贝成正比），和频率响应的相角（单位为弧度）有关，两者的关系是希尔伯特转换。在连续时间系统下，令

${\displaystyle H(j\omega )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ H(s){\Big |}_{s=j\omega }\ }$ 

是系统H(s)的复数频率响应。在最小相位系统下，系统H(s)的相位响应和增益响应的关系为

${\displaystyle \arg \left[H(j\omega )\right]=-{\mathcal {H}}\lbrace \log \left(|H(j\omega )|\right)\rbrace \ }$ 

以及

${\displaystyle \log \left(|H(j\omega )|\right)=\log \left(|H(j\infty )|\right)+{\mathcal {H}}\lbrace \arg \left[H(j\omega )\right]\rbrace \ }$ .

若用较精简的方式表示，令

${\displaystyle H(j\omega )=|H(j\omega )|e^{j\arg \left[H(j\omega )\right]}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ e^{\alpha (\omega )}e^{j\phi (\omega )}=e^{\alpha (\omega )+j\phi (\omega )}\ }$ 

其中${\displaystyle \alpha (\omega )}$ 和${\displaystyle \phi (\omega )}$ 都是实数下的实函数，则

${\displaystyle \phi (\omega )=-{\mathcal {H}}\lbrace \alpha (\omega )\rbrace \ }$ 

及

${\displaystyle \alpha (\omega )=\alpha (\infty )+{\mathcal {H}}\lbrace \phi (\omega )\rbrace \ }$ .

希尔伯特转换算子定义为

${\displaystyle {\mathcal {H}}\lbrace x(t)\rbrace \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\widehat {x}}(t)={\frac {1}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {x(\tau )}{t-\tau }}\,d\tau \ }$  .

在离散时间系统中也有等效的对应关系。

针对所有有相同增益响应的因果稳定系统，最小相位系统的能量最集中在冲激响应的开始处，也就是说最小相位系统最小化了以下的函数（可以视为是冲激响应能量的延迟）。

${\displaystyle \sum _{n=m}^{\infty }\left|h(n)\right|^{2}\,\,\,\,\,\,\,\forall \,m\in \mathbb {Z} ^{+}}$ 

在所有增益响应相同的因果稳定系统中，最小相位系统的群延迟最小。以下证明可以说明为何该系统有最小的群延迟。

假设考虑传递函数${\displaystyle H(z)}$ 中的一个零点 ${\displaystyle a}$ ，先让零点${\displaystyle a}$ 在单位圆内（${\displaystyle \left|a\right|<1}$ ），看对群延迟的影响。

${\displaystyle a=\left|a\right|e^{i\theta _{a}}\,{\mbox{ where }}\,\theta _{a}={\mbox{Arg}}(a)}$ 

因为零点 ${\displaystyle a}$  在传递函数中贡献了${\displaystyle 1-az^{-1}}$ 的因子，因此其对相位的贡献如下：

${\displaystyle \phi _{a}\left(\omega \right)={\mbox{Arg}}\left(1-ae^{-i\omega }\right)}$ 

${\displaystyle ={\mbox{Arg}}\left(1-\left|a\right|e^{i\theta _{a}}e^{-i\omega }\right)}$ 

${\displaystyle ={\mbox{Arg}}\left(1-\left|a\right|e^{-i(\omega -\theta _{a})}\right)}$ 

${\displaystyle ={\mbox{Arg}}\left(\left\{1-\left|a\right|cos(\omega -\theta _{a})\right\}+i\left\{\left|a\right|sin(\omega -\theta _{a})\right\}\right)}$ 

${\displaystyle ={\mbox{Arg}}\left(\left\{\left|a\right|^{-1}-\cos(\omega -\theta _{a})\right\}+i\left\{\sin(\omega -\theta _{a})\right\}\right)}$ 

${\displaystyle \phi _{a}(\omega )}$ 所贡献的相延迟如下。

${\displaystyle -{\frac {d\phi _{a}(\omega )}{d\omega }}={\frac {\sin ^{2}(\omega -\theta _{a})+\cos ^{2}(\omega -\theta _{a})-\left|a\right|^{-1}\cos(\omega -\theta _{a})}{\sin ^{2}(\omega -\theta _{a})+\cos ^{2}(\omega -\theta _{a})+\left|a\right|^{-2}-2\left|a\right|^{-1}\cos(\omega -\theta _{a})}}}$ 

${\displaystyle -{\frac {d\phi _{a}(\omega )}{d\omega }}={\frac {\left|a\right|-\cos(\omega -\theta _{a})}{\left|a\right|+\left|a\right|^{-1}-2\cos(\omega -\theta _{a})}}}$ 

若将零点${\displaystyle a}$ 移到单位圆外的对应点，也就是${\displaystyle (a^{-1})^{*}}$ ，上式的分母和${\displaystyle \theta _{a}}$ 都不会变化，而分子的${\displaystyle \left|a\right|}$ 大小增加，因此让${\displaystyle a}$ 在单位圆内可以让群延迟中${\displaystyle 1-az^{-1}}$ 的贡献最小化。可以将上述结果延伸到超过一个零点的情形，因为${\displaystyle 1-a_{i}z^{-1}}$ 的相位是各项次相位相加的结果，因此，对于有${\displaystyle N}$ 个零点的传递函数，

${\displaystyle {\mbox{Arg}}\left(\prod _{i=1}^{N}\left(1-a_{i}z^{-1}\right)\right)=\sum _{i=1}^{N}{\mbox{Arg}}\left(1-a_{i}z^{-1}\right)}$ 

一个所有零点都在单位圆内的最小相位系统可以让群延迟降到最小，因为每个零点对群延迟的贡献都降到最小。

若系统本身是因果稳定系统，其逆系统具有因果性，但不稳定，原系统即为非最小相位系统（non-minimum-phase）。非最小相位系统和最小相位系统有相同的增益响应，但非最小相位系统的相位贡献会比最小相位系统要大。

最大相位系统

最大相位系统（maximum-phase）是和最小相位系统有相反特性的系统，最大相位系统也是非最小相位系统（系统本身是因果稳定系统，其逆系统具有因果性，但不稳定），而且

• 离散时间系统下的零点都在单位圆外。
• 连续时间系统下的零点都在复数平面的右半边。

也就是其逆系统所有的极点都不稳定。

此系统称为最大相位系统的原因是在所有有相同增益响应的系统中，最大相位系统有最大的群延迟。在等增益响应的系统的系统中，最大相位系统有最大的能量延迟。

例如以下是二个连续时间LTI系统的传递函数

${\displaystyle {\frac {s+10}{s+5}}\qquad {\text{and}}\qquad {\frac {s-10}{s+5}}}$ 

这二个系统的增益响应相同，但第二个系统相位移的贡献较大，因此第二个系统是最大相位系统，而第一个系统为最小相位系统。

混合相位系统

离散时间下的混合相位系统（mixed-phase）有些零点在单位圆内，有些零在单位圆外，其群延迟不是最小值，也不是最大值。连续时间下的混合相位系统则是有些零点在右半平面内，有些零点在右半平面。

例如连续时间系统

${\displaystyle {\frac {(s+1)(s-5)(s+10)}{(s+2)(s+4)(s+6)}}}$ 

是因果稳定系统，但有零点在左半平面，也有零点在右半平面，因此是混合相位系统。

线性相位

线性相位（英语：linear phase）（linear-phase）系统的群延迟是定值。非平凡的线性相位系统或是接近线性相位系统都是混合相位系统。

• 全通滤波器：一种特殊的非最小相位系统
• 克拉莫-克若尼关系式：物理上的最小相位系统