元素 (数学)

${\displaystyle A=\{1,2,3,4\}}$ 表示集合${\displaystyle A}$ 中有四个元素，分别是数字1、2、3、4。由集合${\displaystyle A}$ 中元素组成的集合是${\displaystyle A}$ 的子集，例如 ${\displaystyle \{1,2\}}$ 。

集合本身也可以是元素。例如，集合${\displaystyle B=\{1,2,\{3,4\}\}}$ 的元素不是1、2、3、4四个数，而是数字1、2和集合${\displaystyle \{3,4\}}$ 这三个元素。

集合的元素还可以是任何东西。例如，集合${\displaystyle C=\{\mathrm {\color {red}red} ,\mathrm {\color {green}green} ,\mathrm {\color {blue}blue} \}}$ 的元素为red、green和blue。

符号“∈”表示“是${\displaystyle X}$ 中的元素”的关系，这种关系也称集合隶属关系（英语：set membership）。可以用

${\displaystyle x\in A}$ 

表示“${\displaystyle x}$ 是${\displaystyle A}$ 中的元素”，也可以表达为“${\displaystyle x}$ 是${\displaystyle A}$ 的成员”、“${\displaystyle x}$ 在${\displaystyle A}$ 中”或“${\displaystyle x}$ 属于${\displaystyle A}$ ”。

有时也用“${\displaystyle A}$ 包含${\displaystyle x}$ ”表达集合隶属关系，但因为这样的说法也可以用来表达“${\displaystyle x}$ 是${\displaystyle A}$ 的子集”，应该谨慎使用，避免歧义。^[1][2]不过使用符号时没有歧义，可以用

${\displaystyle A\ni x}$ 

来表达“${\displaystyle A}$ 包含${\displaystyle x}$ ”。

不隶属的关系可以用符号“${\displaystyle \not \in }$ ”表示，记作

${\displaystyle x\notin A}$ 

意思是“${\displaystyle x}$ 不是${\displaystyle A}$ 的元素”。

符号∈最早见于朱塞佩·皮亚诺1889年的论文Arithmetices principia, nova methodo exposita。^[3]他在第 X 页^{[注 1]}上写道：

Signum ∈ significat est. Ita a ∈ b legitur a est quoddam b; …

意思是

符号 ∈ 表示“是”。所以a ∈ b被读作 a 是 b； …

该符号源自希腊字母“E”的小写“ϵ”，是单词ἐστί的第一个字母，意思为“是”。^[3]

• 单位元
• 单元素集合

• Halmos, Paul R., Naive Set Theory , 数学大学生教材 Hardcover, NY: Springer-Verlag, 1974 [1960], ISBN 0-387-90092-6  含有内容需登入查看的页面 (link) - "Naive" means that it is not fully axiomatized, not that it is silly or easy (Halmos's treatment is neither).
• Jech, Thomas, Set Theory, Stanford Encyclopedia of Philosophy, Metaphysics Research Lab, Stanford University, 2002 [2022-06-29], （原始内容存档于2015-03-14） 
• Suppes, Patrick, Axiomatic Set Theory , NY: Dover Publications, Inc., 1972 [1960], ISBN 0-486-61630-4  含有内容需登入查看的页面 (link) - Both the notion of set (a collection of members), membership or element-hood, the axiom of extension, the axiom of separation, and the union axiom (Suppes calls it the sum axiom) are needed for a more thorough understanding of "set element".