势 (数学)

设${\displaystyle A}$ 和${\displaystyle B}$ 为集合。称它们等势，指的是存在${\displaystyle A}$ 到${\displaystyle B}$ 一个双射${\displaystyle f}$ ，即${\displaystyle A}$ 中的元素可以与${\displaystyle B}$ 中的元素一一对应起来。例子：集合${\displaystyle A=\{1,2,3\}}$ 与${\displaystyle B=\{}$ 苹果,马,园丁${\displaystyle \}}$ 等势，这是因为“${\displaystyle 1\rightarrow }$ 苹果, ${\displaystyle 2\rightarrow }$ 马, ${\displaystyle 3\rightarrow }$ 园丁”是两个集合之间的一一对应。不过在这个例子中, 不用等势的概念也知道它们的元素不多不少, 是3个。对于无穷集可举一个例子如下：正偶数集合${\displaystyle E=\{2,4,6,\ldots \}}$ 和自然数集合${\displaystyle \mathbb {N} =\{1,2,3,\ldots \}}$ 等势，这是因为由公式${\displaystyle f(n)=2n}$ 所决定的函数${\displaystyle f:\mathbb {N} \rightarrow E}$ 是一个由${\displaystyle \mathbb {N} }$ 到${\displaystyle E}$ 的双射。

等势的概念只能说明两个（有限或无限）集合的元素是否“一样多”的问题。那么以下说明集合${\displaystyle A}$ 的元素是否比集合${\displaystyle B}$ “多”的问题。称“集合${\displaystyle A}$ 的势不小于集合${\displaystyle B}$ 的势”，若存在一个由${\displaystyle B}$ 到${\displaystyle A}$ 的单射。称“集合${\displaystyle A}$ 的势大于集合${\displaystyle B}$ 的势”，若${\displaystyle A}$ 的势不小于${\displaystyle B}$ 的势，但${\displaystyle A}$ 和${\displaystyle B}$ 不等势。也就是说，存在一由${\displaystyle B}$ 到${\displaystyle A}$ 的单射，但它们之间不存在一一对应。例如，实数集合${\displaystyle \mathbb {R} }$ 的势严格大于自然数集合${\displaystyle \mathbb {N} }$ 的势，因为内含映射${\displaystyle i:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {R} }$ 是单射的，且可证明不存在一由${\displaystyle \mathbb {N} }$ 到${\displaystyle \mathbb {R} }$ 的双射函数。

假设选择公理成立，三分法就会成立于所有的势中，所以可以有以下的定义。

• 任何势小于自然数集的集合称为有限集合。
• 任何势和自然数集一样的集合称为可数无限集合。
• 任何势大于自然数集的集合称为不可数集合。

注意，到目前为止，我们只是从函数的角度去定义势的概念：我们没有把一个集合的势真正地定义为一具体的对象。以下将略述此一处理方法。

等势可被视为在所有集合的类上的等价关系。一集合${\displaystyle A}$ 在此关系下的等价类包含所有和${\displaystyle A}$ 等势的集合。然后，接下来可以有两种定义“一集合的势”的处理方式。

• 直接把一集合${\displaystyle A}$ 的势定义成其在等势关系下的等价类。

但这样得出的等价类事实上是真类而不是集合，因此一般不采用这种定义。

• 给每个等价类指定一个集合来代表它，将其定义为集合的势。

最一般的选择是冯·诺伊曼基数指派。它通常被取为公理集合论中基数的定义。

集合${\displaystyle S}$ 的势通常标记为${\displaystyle |S|}$ 。其幂集的势则通常标记为${\displaystyle 2^{|S|}}$ 。

假定选择公理，无限集合的势可标记为

${\displaystyle \aleph _{0}<\aleph _{1}<\aleph _{2}<...}$ （对每一个序数${\displaystyle \alpha }$ ，${\displaystyle \aleph _{\alpha +1}}$ 是第一个大于${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$ 的势）。

自然数集的势标记为${\displaystyle \aleph _{0}}$ ，而实数集的势则被标记为${\displaystyle \mathbf {c} }$ 。可以证明${\displaystyle \mathbf {c} =2^{\aleph _{0}}>{\aleph _{0}}}$ 。（请看对角论证法）。连续统假设断言不存在介于实数集的势和自然数集的势之间的基数，亦即${\displaystyle \mathbf {c} =\aleph _{1}}$ 。

• 集合${\displaystyle X=\{a,b,c\}}$ 与集合${\displaystyle Y=\{}$ 苹果, 橘子, 桃子${\displaystyle \}}$ 有同样的势，因为它们都有三个元素。

• 若对于两个集合${\displaystyle X}$ 和${\displaystyle Y}$ 有${\displaystyle |X|}$  ≤ ${\displaystyle |Y|}$ ，则存在一${\displaystyle Y}$ 的子集${\displaystyle Z}$ 使得${\displaystyle |X|=|Z|}$ 。

• 若对于集合${\displaystyle Y}$ 有${\displaystyle |Y|=\mathbf {c} }$ ，则称${\displaystyle Y}$ 具有连续统的势。

• 可以证明不存在一集合${\displaystyle X}$ ，使得对任一集合${\displaystyle Y}$ ，${\displaystyle |Y|}$  ≤ ${\displaystyle |X|}$ 。

证明：假设存在此一集合${\displaystyle X}$ 。然后设${\displaystyle Y}$ 为${\displaystyle X}$ 的幂集，${\displaystyle |Y|=2^{|X|}}$ ，然而${\displaystyle |Y|>|X|}$ （请看康托尔定理），导出矛盾。

• 基数
• 连续统假设
• 艾礼富数