半立方抛物线
半立方抛物线(cuspidal cubic)是一个参数式如下的平面代数曲线[1]
其隐方程为
可以求得y得到以下的式子[1]
若令u = at, X = a2x,且令Y = a3y,可得
这意味着,针对任意的实数a,此曲线都可以位似变换到a = 1的曲线,也就是说,不同的a只对应不同的单位长度。
性质
有一种特殊的半立方抛物线,是抛物线的渐屈线[2],其方程式为
若将Tschirnhausen cubic catacaustic展开,可以证明也是半立方抛物线[3]:
半立方抛物线的另一个特性是其为等时曲线,也就是说一物体在其曲线上,因重力而往下移动,在相同的时间内会移动相同的距离。因此此曲线和等时降线有关,也是物体在不同的位置因重力同时往下移动,会在相同的时间到达最下方。此曲线也和最速降线问题有关,物体沿此轨迹,会从起点以最快速度到达终点[4]。
半立方抛物线等时曲线的特性是由雅各布·伯努利为了回答戈特弗里德·莱布尼茨在1687年提出的一个挑战,在1690年提出此曲线的特性[4]。
参考资料
- ^ 1.0 1.1 Pickover, Clifford A., The Length of Neile's Semicubical Parabola, The Math Book: From Pythagoras to the 57th Dimension, 250 Milestones in the History of Mathematics, Sterling Publishing Company, Inc.: 148, 2009, ISBN 9781402757969.
- ^ Yoder, Joella G., Unrolling Time: Christiaan Huygens and the Mathematization of Nature, Cambridge University Press: 88, 2004 [2016-04-06], ISBN 9780521524810, (原始内容存档于2017-08-20).
- ^ Weisstein, Eric W. (编). Wolfram MathWorld (首頁). at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语).
- ^ 4.0 4.1 Carnahan, Walter H., Time Curves, School Science and Mathematics, 1947, 47 (6): 507–511, doi:10.1111/j.1949-8594.1947.tb06153.x.
外部链接
- 约翰·J·奥康纳; 埃德蒙·F·罗伯逊, Neile's Semi-cubical Parabola, MacTutor数学史档案 (英语)