例子
-
中, ,3 不整除 2,因此方程无解。
-
中, ,1 整除 2,因此方程在 中恰有一个解: 。
-
中, ,2 整除 2,因此方程在 中恰有两个解: 以及 。
求特殊解
对于线性同余方程
- (1)
若 整除 ,那么 为整数。由裴蜀定理,存在整数对 (可用扩展欧几里得算法求得)使得 ,因此 是方程 (1) 的一个解。其他的解都关于 与 同余。
举例来说,方程
-
中 。注意到 ,因此 是一个解。对模 28 来说,所有的解就是 。
考虑 ,其等价于 ( 是整数),也就是线性丢番图方程。运用辗转相除法可以求得该方程的解,有无限多个;但是在原同余方程中,解的个数受到 限制,因此正如上面例子所示,只能选取前面的几个解。
线性同余方程组
线性同余方程组的求解可以分解为求若干个线性同余方程。比如,对于线性同余方程组:
-
-
-
首先求解第一个方程,得到 ,于是令 ,第二个方程就变为:
-
解得 。于是,再令 ,第三个方程就可以化为:
-
解出: ,即 。代入原来的表达式就有 ,即解为:
-
对于一般情况下是否有解,以及解得情况,则需用到数论中的中国剩余定理。
参见