伦敦方程

以可量度的场表示时，伦敦方程共有两条：

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {j} _{s}}{\partial t}}={\frac {n_{s}e^{2}}{m}}\mathbf {E} ,\qquad \mathbf {\nabla } \times \mathbf {j} _{s}=-{\frac {n_{s}e^{2}}{mc}}\mathbf {B} \,}$ 。

其中${\displaystyle {\mathbf {j} }_{s}}$ 为超导电流，E和B分别为超导体内部的电场与磁场，${\displaystyle e\,}$ 为基本电荷，${\displaystyle m\,}$ 为电子质量，而${\displaystyle n_{s}\,}$ 为一现象常数，大致上与超导电子的数密度有关^[6]。本条目全篇都使用高斯cgs单位制。

另一方面，可以利用较抽象的概念——磁矢势A，来把上面两条式子写成较简便的形式，也就独立一条的“伦敦方程”^[6][7]：

${\displaystyle \mathbf {j} _{s}=-{\frac {n_{s}e^{2}}{mc}}\mathbf {A} \,}$ 。

上述这条方程只有一个缺点，就是它一般不具有规范不变性，但只有在符合伦敦规范时，即向量场A的散度为零，才具有规范不变性 ^[8]。

若使用安培定律来处理第二条伦敦方程的话^[9]：

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} ={\frac {4\pi \mathbf {j} }{c}}}$ ，

这样最后会得出一条微分方程

${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {B} ={\frac {1}{\lambda ^{2}}}\mathbf {B} ,\qquad \lambda \equiv {\sqrt {\frac {mc^{2}}{4\pi n_{s}e^{2}}}}\,}$ 。

因此从量纲可见，伦敦方程内含一特有的长度大小，${\displaystyle \lambda }$ ，而在这个长度中，外来的磁场会被愈来愈快地被排斥。这个数值被称为伦敦穿透深度。

举例说，一超导体与自由空间之间的边界是平的，而超导体外面的磁场大小是固定的，且方向跟z轴一致，与边界平面平行。若x从边界指向超导体内部，则内部的磁场解为

${\displaystyle B_{z}(x)=B_{0}e^{-x/\lambda }\,}$ ，

从上式可以较容易地理解到伦敦穿透深度的物理意义。

最初的论述

需要注意的是，上述各方程并不能用文字推导出来 ^[10]，尽管如此，伦敦兄弟在表述这套理论时，还是有跟着一套凭直觉所得的逻辑。欧姆定律指出，电流与电场成正比；即使各种物质的构造不同，但是大致遵守欧姆定律的物质种类还是出奇地多。然而，超导体是不可能有这样的线性关系，因为超导时电流都没有电阻，而这点就是超导的定义。为了这一点，伦敦兄弟把超导电子想像成，受均匀外在电场影响的真空电子。根据洛伦兹力方程：

${\displaystyle \mathbf {F} =e\mathbf {E} +{\frac {e}{c}}\mathbf {v} \times \mathbf {B} }$ 

这些电子应感受到一股均匀的力，并因此均匀地加速。第一条伦敦方程所描述的正是如此。

要得出第二条方程，先取第一条伦敦方程的旋度，然后使用法拉第定律：

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}$ ，

最后可得

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla \times \mathbf {j} _{s}+{\frac {n_{s}e^{2}}{mc}}\mathbf {B} \right)=0\,}$ 。

就现时所得的方程而言，方程同时允许不变解及指数衰变解。伦敦兄弟从迈斯纳效应中察觉到，非零的不变解是不具有物理意义的，因此他们假定不单是上式的时间导数为零，还有括号内的式子也必须是零。由此得出第二条伦敦方程。

正则动量论述

要解释伦敦方程，还有其他方法^[11][12]。电流密度的表示式如下：

${\displaystyle \mathbf {j} _{s}=n_{s}e\mathbf {v} }$ 。

要把上式由经典描述转为量子力学的描述，就必须把j及v的数值，改为对应算符的期望值。速度算符的表示式如下

${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {1}{m}}\left(\mathbf {p} -{\frac {e}{c}}\mathbf {A} \right)}$ 。

把具有规范不变性的动态动量算符，除以粒子质量m，就能得到速度算符^[13]。然后可以将速度算符代入电流密度的表示式。然而，超导的微观理论中有一个重要的假设，就是一系统的超导态是这个系统的基态，而根据布洛赫的一条定理^[10]，这样一个态的正则动量p为零。因此得

${\displaystyle \mathbf {j} _{s}=-{\frac {n_{s}e_{s}^{2}}{mc}}\mathbf {A} }$ ，

也就是上面用向量场A所表示的伦敦方程。