数的韧性

数的韧性是针对正整数的特性，是指此整数需连续进行几次特定的处理才能到达不动点，数字不再变动。

数的韧性一般可分为加法韧性及乘法韧性，前者是反复针对数字的各位数字求和（即数字和），后者则是反复计算各位数字的乘积，当数字为1位数时即为不动点，数字不会再变动。因为结果会依各位数字的有所不同，数的韧性也和进制有关，以下只考虑十进制的情形求和。

当反复计算数字和时，最后的不动点即为该数字的数字根。因此一数字的加法韧性也可以定义为一数字需计算几次数字和才能得到其数字根。

举例

2718的加法韧性为2：2718的数字和为 2 + 7 + 1 + 8 = 18，而18的数字和为 1 + 8 = 9。39的乘法韧性为3，因为需要运算三次才能将数字变成一位数：39 → 27 → 14 → 4。39也是乘法韧性为3的最小整数。

特定韧性的数字

在十进制中，所有小于10233的整数其乘法韧性都不大于11。乘法韧性依序为0,1,2...的最小整数分别为：

0, 10, 25, 39, 77, 679, 6788, 68889, 2677889, 26888999, 3778888999, 277777788888899, ... （（OEIS数列A003001））

因为计算各位数字的乘积时，只要有一位为0，其乘积即为0，因此整数只要有任一位数为0，在任何进制下，其乘法韧性即为1。

加法韧性依序为0,1,2...的最小整数分别为：

0, 10, 19, 199, 19999999999999999999999, ... （（OEIS数列A006050））

上述数列的下一个数字（即加法韧性为5的整数）为 2 × 102×(1022 − 1)/9 − 1（1后面有2222222222222222222222位的9）。另外，此数列中不等于零的数俱等于下一个数字的数字和。

不论任何进制下，数字的数字和大约和其对数成比例，因此其加法韧性也大致和其重复对数成比例。

参考资料

  • Guy, Richard K. Unsolved problems in number theory 3rd. Springer-Verlag. 2004: 398–399. ISBN 978-0-387-20860-2. Zbl 1058.11001.