庞加莱复现定理

对于任何一个由常微分方程式定义的动态系统，都有相应的流映射 f ^t，而对每个固定的 t（可当成时间）, f ^t 皆是由该系统的相空间射去相空间本身的映射。若相空间中，每个可以计算体积（称为相体积）的子集，都在流中保持体积，则称该系统保体积。例如，根据刘维尔定理，所有哈密顿系统皆保体积。

有了上述的背景之后，可以将定理叙述如下：若流保体积，且其所有轨道（英语：Orbit (dynamics)）皆有界，则对于相空间中每个开集，都有轨道与之相交无穷多次。^[9]

定性理解，证明的关键在于两个前提：^[10]

1. 可达（accessible）的相空间总体积具有有限的上界。对于力学系统，可要求其受限于某个有界的“实际”空间（于是，该系统不得将粒子射出至极远处而从不返回）。如此，再加上能量守恒，就足以证明系统受限于相空间的某个有限区域。
2. 动态变化当中，有限元的相体积守恒。（对于力学系统，此条件由刘维尔定理保证。）

取相空间中任意一块体积有限的起始区域，其按照系统的动态而移动，“扫过”相空间的一部分点。由于该区域的体积在过程中保持不变，其扫过的总体积（称为相管，phase tube）理应随时间线性增加（至少在起始不久后如此）。然而，由于可达的相空间总体积有限，相管的体积会达到某个饱和值，而不能一直增加，否则终会大于可达的总相体积。这正说明，相管必与自身相交。倘若要与自身相交，则必须先经过起始的区域。所以，起始体积中至少有体积非零的一部分复现（recur）。

此时，考虑起始区域中永不返回的部分。按上段的论证，若该部分的体积非零，则其必有体积非零的部分复现，但若永不返回的部分中，有一部分复现，则后者亦必返回到原始区域内，造成矛盾。所以，起始区域中永不返回的部分体积只能为零，即与起始区域相比是极小。

注意定理（并其证明）并不保证复现的若干性质：

• 仍然可能有若干个特别的始态永不返回起始区域，或是仅返回有限多次后便不再返回。然而，此种情况极为罕见，与起始区域相比仅是无穷小的部分。
• 起始区域的各部分不必同一时间复现。相管首次通过自身时，可能有一部分体积会错过起始区域，从而该部分会较迟复现。
• 相管确实可能先穷竭可达相空间的全部体积，然后才返回到起始区域。一个简单例子是谐振子。能够历遍整个可达相空间的体积的系统称为满足遍历假设（英语：Ergodic hypothesis）（但此取决于“可达体积”的定义）。
• 可保证的是，从几乎所有始态出发，系统都终将返回到某个与始态任意接近的态。复现时间取决于所要求的“近”的程度，即初始区域的相体积。若要得出更精确的复现，则须取较小的初始区域，所以所需的复现时间更长。
• 给定某个区域和其中某个相，其复现的时刻不必具周期性。第二次复现的时间不必是首次复现时间的两倍。

设

${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ 

为总测度有限的测度空间，并设

${\displaystyle f\colon X\to X}$ 

为保测函数，即其可测，且对任意的可测子集 ${\displaystyle A\in \Sigma }$  有 ${\displaystyle \mu (T^{-1}A)=\mu (A).}$  以下为定理的两种叙述：

定理一

对任意可测子集 ${\displaystyle E\in \Sigma ,}$  ${\displaystyle E}$  中满足：存在正整数 ${\displaystyle N}$  ，使得对任意 ${\displaystyle n>N}$  都有 ${\displaystyle f^{n}(x)\notin E}$  的点 ${\displaystyle x}$  的集合的测度为零。

换言之，${\displaystyle E}$  中几乎所有点皆会返回到 ${\displaystyle E,}$  且会返回无穷多次，即

${\displaystyle \mu \left(\{x\in E:\exists N{\text{ s.t. }}f^{n}(x)\notin E\ \forall n>N\}\right)=0.}$ 

证明见于所引参考资料。^[11]

定理二

以下为定理的拓扑版本：

若 ${\displaystyle X}$  为第二可数的豪斯多夫空间，而 ${\displaystyle \Sigma }$  包含其博雷尔σ-代数，则 ${\displaystyle f}$  的复现点集的测度等于 ${\displaystyle X}$  的全测度，即几乎所有点皆复现。

证明同样见于所引参考资料。^[12]

更一般地，定理适用于守恒系统（英语：conservative system），而不仅是保测动态系统。

对于非时变的量子力学系统，若其能量特征态离散，则有类似的定理成立。对于任意的 ${\displaystyle \varepsilon >0}$  和 ${\displaystyle T_{0}>0,}$  皆存在时间 T 大于 ${\displaystyle T_{0},}$  使得 ${\displaystyle ||\psi (T)\rangle -|\psi (0)\rangle |<\varepsilon ,}$  其中 ${\displaystyle |\psi (t)\rangle }$  表示系统于时间 t 的态向量。^[13][14][15]

证明的关键如下。系统的状态按下式随时间变化：

${\displaystyle |\psi (t)\rangle =\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}\exp(-iE_{n}t)|\phi _{n}\rangle ,}$ 

其中 ${\displaystyle E_{n}}$  为能量特征值（此处使用自然单位，故约化普朗克常数 ${\displaystyle \hbar =1}$ ），而 ${\displaystyle |\phi _{n}\rangle }$  为相应的能量特征态。时间 ${\displaystyle T}$  和时间 ${\displaystyle 0}$  的态向量的距离平方为

${\displaystyle \left||\psi (T)\rangle -|\psi (0)\rangle \right|^{2}=2\sum _{n=0}^{\infty }|c_{n}|^{2}[1-\cos(E_{n}T)].}$ 

可于某项 n = N 截尾，而 N 不取决于 T, 因为

${\displaystyle \sum _{n=N+1}^{\infty }|c_{n}|^{2}[1-\cos(E_{n}T)]\leq 2\sum _{n=N+1}^{\infty }|c_{n}|^{2},}$ 

而又有 ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }|c_{n}|^{2}=1}$  收敛（此为始态的范数平方），故上式中 ${\displaystyle N}$  取很大时，能使上式的值任意小。

而有限和

${\displaystyle \sum _{n=0}^{N}|c_{n}|^{2}[1-\cos(E_{n}T)]}$ 

按以下的构造，也能藉着拣选特定的时刻 T, 而使之任意小。取任意的 ${\displaystyle \delta >0,}$  然后取 T, 使得对于 ${\displaystyle 0\leq n\leq N,}$  都总存在整数 ${\displaystyle k_{n}}$  满足

${\displaystyle |E_{n}T-2\pi k_{n}|<\delta .}$ 

对此 T, 有

${\displaystyle 1-\cos(E_{n}T)<{\frac {\delta ^{2}}{2}}.}$ 

于是，

${\displaystyle 2\sum _{n=0}^{N}|c_{n}|^{2}[1-\cos(E_{n}T)]<\delta ^{2}\sum _{n=0}^{N}|c_{n}|^{2}<\delta ^{2},}$ 

亦即态向量 ${\displaystyle |\psi (T)\rangle }$  会回到与始态 ${\displaystyle |\psi (0)\rangle }$  任意接近之处。

• 遍历假设（英语：Ergodic hypothesis）
• 复现图（英语：Recurrence plot）
• 复现周期密度熵（英语：Recurrence period density entropy）
• 游荡集
• 波兹曼大脑

• Page, Don N. Information loss in black holes and/or conscious beings?. November 25, 1994. arXiv:hep-th/9411193  . 

• Padilla, Tony. The Longest Time. Numberphile. Brady Haran. [2013-04-08]. （原始内容存档于2013-11-27）. 
• Arnold's Cat Map: An interactive graphical illustration of the recurrence theorem of Poincaré. [2020-10-05]. （原始内容存档于2020-12-23）. 

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