内射对象与投射对象

在同调代数中，内射对象与投射对象是内射模与投射模在阿贝尔范畴中的推广，二者的定义相对偶。以下固定一个阿贝尔范畴 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 。

• 若对象 ${\displaystyle P}$ 使得函子 ${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(P,-)}$ 为正合函子，则称 ${\displaystyle P}$ 为投射对象。
• 若对象 ${\displaystyle I}$ 使得函子 ${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(-,I)}$ 为正合函子，则称 ${\displaystyle I}$ 为内射对象。

若对每个对象 ${\displaystyle X}$ 都存在投射对象 ${\displaystyle P}$ 及满射 ${\displaystyle P\to X}$，则称 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 有充足投射元。若对每个对象 ${\displaystyle X}$ 都存在内射对象 ${\displaystyle I}$ 及单射 ${\displaystyle X\to I}$，则称 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 有充足内射元。对于有充足投射元（或内射元）的阿贝尔范畴，可以考虑对象的投射分解（或内射分解）。