投射模

此节给出投射模的两种等价定义。

自由模的直和项

投射模最直接的刻划是一个自由模的直和项；换言之，一个模 ${\displaystyle P}$  是投射模，当且仅当存在另一个模 ${\displaystyle Q}$  使得 ${\displaystyle F:=P\oplus Q}$  是自由模。此时 ${\displaystyle P}$  是 ${\displaystyle F}$  的一个投影态射的项。

提升性质

较容易操作也较符合范畴论思想的定义是利用提升性质。模 ${\displaystyle P}$  是投射模，当且仅当对任何模满射 ${\displaystyle f:N\twoheadrightarrow M}$  及模态射 ${\displaystyle g:P\rightarrow M}$ ，存在模态射 ${\displaystyle h:P\rightarrow N}$  使得 ${\displaystyle f\circ h=g}$ （请留意：在此不要求唯一性）。用交换图表现则更明了：

此定义的优势在于它可以推广到阿贝尔范畴，从而引至投射对象的概念，在此并不需要考虑自由对象。反转箭头则得到对偶概念内射模。

另一种在探讨Ext函子时特别有用的表述如下：模 ${\displaystyle P}$  是投射模，当且仅当任何正合序列

${\displaystyle 0\longrightarrow M'\longrightarrow M\longrightarrow M''\longrightarrow 0}$ 

都诱导出正合序列

${\displaystyle 0\longrightarrow \mathrm {Hom} (P,M')\longrightarrow \mathrm {Hom} (P,M)\longrightarrow \mathrm {Hom} (P,M'')\longrightarrow 0}$ 

换言之，${\displaystyle \mathrm {Hom} (P,-)}$  是正合函子；实则对任何模 ${\displaystyle M}$ ，函子 ${\displaystyle \mathrm {Hom} (M,-)}$  总是左正合的，而投射性相当于右正合性。由此立刻得到投射模的同调刻划：${\displaystyle P}$  是投射模当且仅当

${\displaystyle \forall i>0,\;\mathrm {Ext} ^{i}(P,-)=0}$ 

投射模理论的想法之一是向量丛的类比，对于紧豪斯多夫空间上的实值连续函数环，或紧光滑流形上的光滑函数，此类比有严格的表述，详阅条目Swan 定理。

向量丛是局部自由的；只要环上有合适的局部化概念，例如对环的一个积性子集局部化，则可以定义局部自由模。对于诺特环上的有限生成模，其投射性等价于局部自由性。对于非诺特环，则存有局部自由但非投射模的例子。

• 投射模的直和与直和项仍是投射模。
• 若 ${\displaystyle e=e^{2}\in R}$ ，则 ${\displaystyle Re}$  是个投射左 ${\displaystyle R}$ -模。
• 投射模的子模不一定是投射模。使得所有投射左模的子模都是投射左模的环称作左继承的。
• 一个环上的全体有限生成投射模构成一个正合范畴（亦见代数K-理论）。
• 域或除环上的向量空间是自由模，因而是投射模。使所有模为投射模的环称为半单环。
• 将阿贝尔群视为 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ -模；则投射模对应于自由阿贝尔群。一般而言，此性质对主理想域也成立。
• 投射模皆为平坦模，反之不然，例如 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$  是平坦 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ -模，但是非投射。
• 关于“局部自由＝投射”的想法，Kaplansky 证出如下定理：局部环上的投射模皆为自由模。有限生成投射模的情形容易证明，一般情形则较困难。

Quillen-Suslin定理是另一个深入的结果：它断言若 ${\displaystyle R}$  是域或主理想域，而 ${\displaystyle R[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$  是其上的多项式环，则任何投射 ${\displaystyle R}$ -模都是自由模。

此问题在域的情形由塞尔首先提出。Bass 解决了非有限生成模的情形，Quillen 与 Suslin 则同时而独立地处理有限生成模的情形。

• Serge Lang, Algebra (2002), Graduate Texts in Mathematics 211, Springer. ISBN 0-387-95385-X