分数微积分

在应用数学与数学分析中，一个分数阶的导数是一个可以为任意阶实数或是复数的导数。这个概念第一次出现在1695年，莱布尼兹写给洛必达的书信中。分数微积分则是第一次被介绍在阿贝尔的早期论文中，其中关于各种分数阶的积分与微分的概念、微分与积分的关系、关于分数阶的微分与积分其实都可以被视作一种广义算子，以及统一关于实数阶微分与积分的概念。该主题的基础由刘维尔(Liouville)在1832年的论文中独立奠定的，奥利弗·黑维塞(Oliver Heaviside)在1890年引入分数微分算子在电力传输分析中。分数微积分的理论与应用在19世纪跟20世纪中得到发展，许多贡献者都给出了分数阶导数与积分的定义。

一个很自然的想法是问，是否存在一个算子${\displaystyle H}$ 起到半导数的作用，即使得：

${\displaystyle H^{2}f(x)=Df(x)={\frac {d}{dx}}f(x)=f'(x)}$ 

结论是：这样的算子是存在的，对于任意${\displaystyle a>0}$ ,存在一个算子${\displaystyle P}$ ,满足：

${\displaystyle (P^{a}f)(x)=f'(x)}$ ，

或者换一个说法, ${\displaystyle {\dfrac {d^{n}y}{dx^{n}}}}$ 的定义可以从正整数n扩充到所有的实数n.

在这里我们引入Γ函数将阶乘扩展到实数和复数域上. Γ函数的定义如下：

${\displaystyle n!=\Gamma (n+1)}$ ，

假设对函数${\displaystyle f(x)}$  ${\displaystyle (x>0)}$ 在0到x上求积分，我们可以形式的定义积分算子J:

${\displaystyle (Jf)(x)=\int _{0}^{x}f(t)\;dt}$ 

重复这个过程，可得：

${\displaystyle (J^{2}f)(x)=\int _{0}^{x}(Jf)(t)dt=\int _{0}^{x}\left(\int _{0}^{t}f(s)\;ds\right)\;dt}$ ,

这个过程可以任意的重复下去。

利用重复积分的柯西公式，即：

${\displaystyle (J^{n}f)(x)={\frac {1}{(n-1)!}}\int _{0}^{x}(x-t)^{n-1}f(t)\;dt}$ 

我们可以直截了当的写出任意实数n的积分算子。

直接利用${\displaystyle \Gamma }$ 函数将离散的阶乘扩展为连续的函数。我们可以自然的得到分数积分算子的表达形式

${\displaystyle (J^{\alpha }f)(x)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{x}(x-t)^{\alpha -1}f(t)\;dt}$ 

这个算子定义明确而且具有良好的性质。

可以证明J算子满足如下关系

${\displaystyle (J^{\alpha })(J^{\beta })f=(J^{\beta })(J^{\alpha })f=(J^{\alpha +\beta })f={\frac {1}{\Gamma (\alpha +\beta )}}\int _{0}^{x}(x-t)^{\alpha +\beta -1}f(t)\;dt}$ 

这个性质叫微分积分算符的半群性。然而用类似方法定义微分算子将变得相当困难，而且定义出来的微分算子D一般来说不对易也不具有叠加性。

假设有一个函数

${\displaystyle f(x)=x^{k}\;}$ 。它的一阶导数一般是：

${\displaystyle f'(x)={\dfrac {d}{dx}}f(x)=kx^{k-1}\;}$ 。重复这一过程，得到更一般的结果：

${\displaystyle {\dfrac {d^{a}}{dx^{a}}}x^{k}={\dfrac {k!}{(k-a)!}}x^{k-a}\;}$ ，将阶乘用伽玛函数替换，可得：

${\displaystyle {\dfrac {d^{a}}{dx^{a}}}x^{k}={\dfrac {\Gamma (k+1)}{\Gamma (k-a+1)}}x^{k-a}\;}$ 。当k = 1,并且a = 1/2时我们可以得到函数${\displaystyle x}$ 的半导数：

${\displaystyle {\dfrac {d^{\frac {1}{2}}}{dx^{\frac {1}{2}}}}x={\dfrac {\Gamma (1+1)}{\Gamma (1-{\frac {1}{2}}+1)}}x^{1-{\frac {1}{2}}}={\dfrac {1!}{\Gamma ({\frac {3}{2}})}}x^{\frac {1}{2}}={\dfrac {2x^{\frac {1}{2}}}{\sqrt {\pi }}}}$ 。重复这一过程，得：

${\displaystyle {\dfrac {d^{\frac {1}{2}}}{dx^{\frac {1}{2}}}}2\pi ^{-{\frac {1}{2}}}x^{\frac {1}{2}}=2\pi ^{-{\frac {1}{2}}}{\dfrac {\Gamma (1+{\frac {1}{2}})}{\Gamma ({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}+1)}}x^{{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}}=2\pi ^{-{\frac {1}{2}}}{\dfrac {\Gamma ({\frac {3}{2}})}{\Gamma (1)}}x^{0}={\dfrac {2{\sqrt {\pi }}x^{0}}{2{\sqrt {\pi }}0!}}=1}$ ，这正是期望的结果：

${\displaystyle \left({\dfrac {d^{\frac {1}{2}}}{dx^{\frac {1}{2}}}}{\dfrac {d^{\frac {1}{2}}}{dx^{\frac {1}{2}}}}\right)x={\dfrac {d}{dx}}x=1}$ 。

以上微分算子的扩展不仅仅局限于实数次。举个例子，${\displaystyle (1+i)}$ 阶导数作用后，${\displaystyle (1-i)}$ 阶导数再作用，可以得到二阶导数。同时如果a为负则可为求积分。

分数微分可以得到上述相同的结果（当${\displaystyle 0<\alpha <1}$ ）。

${\displaystyle D^{\alpha }f(x)={\frac {1}{\Gamma (1-\alpha )}}{\frac {d}{dx}}\int _{0}^{x}{\frac {f(t)}{(x-t)^{\alpha }}}dt}$ 

对于任意的${\displaystyle \alpha }$ ,由于伽玛函数的参数在实数部为负整数时没有定义，需要在分数微分前先进行整数微分。例如

${\displaystyle D^{\frac {3}{2}}f(x)=D^{\frac {1}{2}}D^{1}f(x)=D^{\frac {1}{2}}{\frac {d}{dx}}f(x)}$ 

我们可以借由拉普拉丝变换提出一个问题。已知

${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{Jf\right\}(s)={\mathcal {L}}\left\{\int _{0}^{t}f(\tau )\,d\tau \right\}(s)={\frac {1}{s}}{\bigl (}{\mathcal {L}}\left\{f\right\}{\bigr )}(s)}$ 

以及

${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{J^{2}f\right\}={\frac {1}{s}}{\bigl (}{\mathcal {L}}\left\{Jf\right\}{\bigr )}(s)={\frac {1}{s^{2}}}{\bigl (}{\mathcal {L}}\left\{f\right\}{\bigr )}(s)}$ 

然后继续下去，我们可以推断:

${\displaystyle J^{\alpha }f={\mathcal {L}}^{-1}\left\{s^{-\alpha }{\bigl (}{\mathcal {L}}\{f\}{\bigr )}(s)\right\}}$ 

举例来说:

${\displaystyle J^{\alpha }(t^{k})={\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {\Gamma (k+1)}{s^{\alpha +k+1}}}\right\}={\frac {\Gamma (k+1)}{\Gamma (\alpha +k+1)}}t^{\alpha +k}}$ 

如同预期一样。的确，我们给出卷积性质。

${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f*g\}={\bigl (}{\mathcal {L}}\{f\}{\bigr )}{\bigl (}{\mathcal {L}}\{g\}{\bigr )}}$ 

然后为了方便，令 p(x) = x^{α − 1} ，我们发现到:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(J^{\alpha }f\right)(t)&={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}{\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\bigl (}{\mathcal {L}}\{p\}{\bigr )}{\bigl (}{\mathcal {L}}\{f\}{\bigr )}\right\}\\&={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}(p*f)\\&={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{t}p(t-\tau )f(\tau )\,d\tau \\&={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{t}\left(t-\tau \right)^{\alpha -1}f(\tau )\,d\tau \\\end{aligned}}}$ 

即得到柯西所给出的样子。

拉普拉斯在一些较少的函数上有效，但是它在解分数微分方程上却非常有用。

WKB近似

对于一个一维的量子系统进行准经典的近似时，系统哈密顿量${\displaystyle H=p^{2}+V(x)}$ 中${\displaystyle V(x)}$ 的倒数${\displaystyle V^{-1}(x)}$ 可由对态密度的半阶微分求出

${\displaystyle V^{-1}(x)=2{\sqrt {\pi }}{\frac {d^{\frac {1}{2}}}{dx^{\frac {1}{2}}}}n(x)}$ 

这里采用了自然单位制，即${\displaystyle \hbar =2m=1}$ ^[1]

• Γ函数
• 拉普拉丝变换

• 任意阶微积分 http://drhuang.com/chinese/science/mathematics/fractionalCalculus/ （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• MathWorld - Fractional calculus （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• MathWorld - Fractional derivative （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Specialized journal: Fractional Calculus and Applied Analysis （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• http://www.nasatech.com/Briefs/Oct02/LEW17139.html （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• https://web.archive.org/web/20040502170831/http://unr.edu/homepage/mcubed/FRG.html
• Igor Podlubny's collection of related books, articles, links, software, etc. （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• http://s.dugowson.free.fr/recherche/dones/index.html （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• History, Definitions, and Applications for the Engineer（PDF）, by Adam Loverro, University of Notre Dame