二次变差

设${\displaystyle X_{t}}$ 是定义在概率空间${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ 上的实值随机过程，时间t取非负实数。其二次变差也是一个随机过程，记做${\displaystyle [X]_{t}}$ ，定义为

${\displaystyle [X]_{t}=\lim _{\|P\|\to 0}{\sum _{k=1}^{n}{(X_{t_{k}}-X_{t_{k-1}})^{2}}}}$ 

其中P取遍区间[0,t]所有的划分，范数${\displaystyle \|P\|}$ 等于P中最长的子区间的长度，极限使用依概率收敛来定义。

更一般地，两个过程X和Y的协变差（或称互变差）为

${\displaystyle [X,Y]_{t}=\lim _{\|P\|\to 0}{\sum _{k=1}^{n}{(X_{t_{k}}-X_{t_{k-1}})(Y_{t_{k}}-Y_{t_{k-1}})}}}$ 

用极化恒等式可以把协变差用二次变差表示出来

${\displaystyle [X,Y]_{t}={\frac {1}{2}}([X+Y]_{t}-[X]_{t}-[Y]_{t})}$ 

随机过程X如果在任意有限区间上都是有界变差的（以概率1成立），则称X是有限变差的。这样的过程非常常见，尤其是包括所有的连续可微函数。对所有的连续有限变差过程，二次变差都存在且等于0。

这个结论可以推广到不连续的情况。对右连左极的有限变差过程，其二次变差等于间断点处跳跃值的平方和。具体来说，记X在t处的左极限为${\displaystyle X_{t^{-}}}$ ，X在t处的跳跃记为${\displaystyle \Delta X_{t}=X_{t}-X_{t^{-}}}$ 。则二次变差为

${\displaystyle [X]_{t}=\sum _{0<s\leq t}{(\Delta X_{s})^{2}}}$ 

要证明连续的有限变差过程的二次变差为0，需使用以下不等式，其中P是区间[0,t]的划分，${\displaystyle V_{t}(X)}$ 是X在[0,t]上的变差。

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n}{(X_{t_{k}}-X_{t_{k-1}})^{2}}&\leq \max _{k\leq n}{|X_{t_{k}}-X_{t_{k-1}}|}\sum _{k=1}^{n}{|X_{t_{k}}-X_{t_{k-1}}|}\\&\leq \max _{|u-v|\leq \|P\|}{|X_{u}-X_{v}|}V_{t}(X)\\\end{aligned}}}$ 

由X的连续性，这在${\displaystyle \|P\|}$ 趋于0时的极限也趋于0。

标准布朗运动的二次变差存在，为${\displaystyle [B]_{t}=t}$ 。这可以推广到伊藤过程。根据定义，伊藤过程可以用伊藤积分表示为

${\displaystyle {\begin{aligned}X_{t}&=X_{0}+\int _{0}^{t}{\sigma _{s}dB_{s}}+\int _{0}^{t}{\mu _{s}d[B]_{s}}\\&=X_{0}+\int _{0}^{t}{\sigma _{s}dB_{s}}+\int _{0}^{t}{\mu _{s}ds}\\\end{aligned}}}$ 

其中B是标准布朗运动。这样的过程，二次变差为

${\displaystyle [X]_{t}=\int _{0}^{t}{\sigma _{s}^{2}ds}}$ 

可以证明所有的半鞅都有二次变差和协变差。这是随机微积分理论的重要部分，出现在伊藤引理中。二次协变差也出现在分部积分公式中

${\displaystyle X_{t}Y_{t}=X_{0}Y_{0}+\int _{0}^{t}{X_{s^{-}}dY_{s}}+\int _{0}^{t}{Y_{s^{-}}dX_{s}}+[X,Y]_{t}}$ 

这可用来计算[X,Y]。

上式也可写成随机微分方程的形式：

${\displaystyle dX_{t}Y_{t}=X_{t^{-}}dY_{t}+Y_{t^{-}}dX_{t}+dX_{t}dY_{t}}$ 

其中${\displaystyle dX_{t}dY_{t}=d[X,Y]_{t}}$ 

右连左极鞅和局部鞅的二次变差都有定义，因为它们都是半鞅。局部平方可积鞅M的二次变差[M]是从0开始的右连续的增过程，跳跃值${\displaystyle \Delta [M]=\Delta M^{2}}$ ，使得${\displaystyle M^{2}-[M]}$ 是局部鞅。Karandikar-Rao(2014)给出了[M]存在的一个证明（不使用随机微积分）。

平方可积鞅有一个有用的结论，可用来计算伊藤积分的变差

${\displaystyle \mathbb {E} \left(\int _{0}^{t}{HdM}\right)^{2}=\mathbb {E} \int _{0}^{t}{H^{2}d[M]}}$ 

只要M是右连左极平方可积鞅且H是有界可预测过程，这个结论总是成立的，常用于构造伊藤积分。

还有一个重要结论是Burkholder-Davis-Gundy不等式，用二次变差给出了鞅的最大值的上下界。对从0开始的局部鞅，最大值记为${\displaystyle M_{t}^{*}\equiv \sup _{s\leq t}{|M_{s}|}}$ ，对任意实数${\displaystyle p\geq 1}$ 

${\displaystyle c_{p}\mathbb {E} [M]_{t}^{p/2}\leq \mathbb {E} (M_{t}^{*})^{p}\leq C_{p}\mathbb {E} [M]_{t}^{p/2}}$ 

式中${\displaystyle c_{p}\leq C_{p}}$ 是依赖于p的常数，但不依赖于选取的鞅M和时间t。若M是连续局部鞅，则不等式对任何p>0都成立。

另一种变差，可预测二次变差有时用于局部平方可积鞅，记做${\displaystyle \langle M\rangle _{t}}$ ，定义为从0开始的右连续且递增的可预测过程，使得${\displaystyle M^{2}-\langle M\rangle }$ 是局部鞅。其存在性可由Doob-Meyer分解定理得到。对连续局部鞅，可预测二次变差就等于二次变差。

• 总变差
• 有界变差

• Protter, Philip E. (2004), Stochastic Integration and Differential Equations (2nd ed.), Springer, ISBN 978-3-540-00313-7
• Karandikar, Rajeeva L.; Rao, B. V. (2014). "On quadratic variation of martingales". Proceedings - Mathematical Sciences. 124 (3): 457–469.