可预测过程

设有

• 概率空间${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ ；
• 测度空间${\displaystyle (S,{\mathcal {A}})}$ ，状态空间；
• 有序的指标集${\displaystyle T}$ ： 可以是非负实数集${\displaystyle [0,\infty )}$ 、有限时间集${\displaystyle [0,T_{0}]}$ 或离散时间${\displaystyle \mathbb {N} }$ ；
• σ-代数${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ 上的参考族${\displaystyle \mathbb {F} =\{{\mathcal {F}}_{t}|t\in T\}}$ ；
• 随机过程${\displaystyle X:T\times \Omega \to \mathbb {X} =\left(X_{t}\right)_{t\in T}}$ 。

当指标集${\displaystyle T}$ 是（可数的）离散集合，比如${\displaystyle \mathbb {N} }$ 时，${\displaystyle \left(X_{t}\right)_{t\in \mathbb {N} }}$ 是可预测过程当且仅当对任意的${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ，${\displaystyle X_{n+1}}$ 都是${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}}$ -可测的随机变量^[1]:190。通俗地说，只要完全掌握了这个随机过程在${\displaystyle t=n}$ 时刻的所有信息，那么${\displaystyle t=n+1}$ 时的取值就是确定的^[2]:§8.2。

当指标集${\displaystyle T}$ 是（不可数的）连续集合，比如${\displaystyle [0,\infty )}$ 时，${\displaystyle \left(X_{t}\right)_{t\in \mathbb {T} }}$ 是可预测过程当且仅当对任意的${\displaystyle t\in \mathbb {T} }$ ，${\displaystyle X_{t}}$ 都是${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t_{-}}}$ -可测的随机变量。其中的参考族${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t_{-}}=\bigcup _{s<t}{\mathcal {F}}_{s}}$ ^[2]:§8.2。换句话说，如果知道了随机过程这个随机过程${\displaystyle X}$ 在${\displaystyle t}$ 时刻之前任意时刻的取值，那么几乎必然有${\displaystyle X_{t}=\lim _{s\uparrow t}X_{s}}$ ，也就是说随机过程在一个特定时刻的取值是之前的取值的极限。另一种等价的定义方式是先定义可预测的σ-代数。给定了参考族${\displaystyle \mathbb {F} =\{{\mathcal {F}}_{t}|t\in T\}}$ 后，可以定义${\displaystyle (\Omega ,T)}$ 上的${\displaystyle \mathbb {F} }$ -可预测σ-代数${\displaystyle \mathbb {F} ^{p}}$ ：它是由所有的左连续并且对每个${\displaystyle t}$ 都可测的过程${\displaystyle Y=Y(\omega ,t)}$ 生成的σ-代数。而一个随机过程是可预测的，当且仅当${\displaystyle X=X(\omega ,t)}$ 作为${\displaystyle (\Omega ,T)}$ 上的随机变量是${\displaystyle \mathbb {F} ^{p}}$ -可测的^{[1]:226[3]:171-172}。

• 任意的左连续适应过程，或者一列左连续适应过程的（概率为1的）极限，都是可预测过程^[2]:§8.2。实际上，可预测过程的集合就是所有左连续适应过程生成的σ-代数^[1]:226。
• 任意关于可预测过程的可测函数仍然是可预测过程^[2]:§8.2。
• 只有在可预测过程上才能定义关于半鞅的积分^[2]:§8.2。

Doob-Meyer分解

可预测过程可以用在分解半鞅过程上。Doob-Meyer分解定理说明，设${\displaystyle X=\left(X_{t}\right)_{t\in \mathbb {T} }}$ 是一个（局部）下鞅，那么存在唯一的（局部）鞅${\displaystyle M=\left(M_{t}\right)_{t\in \mathbb {T} }}$ 和单增的局部可积的可预测过程${\displaystyle A=\left(A_{t}\right)_{t\in \mathbb {T} }}$ ，使得

${\displaystyle X(t)=X(0)+M(t)+A(t).}$ ^[1]:190

举例来说，设 ${\displaystyle B=\left(B_{t}\right)_{t\in \mathbb {T} }}$  是一个标准布朗运动过程，那么过程 ${\displaystyle \left(B_{t}^{2}\right)_{t\in \mathbb {T} }}$  就是一个下鞅，对应的分解是${\displaystyle M(t)=B_{t}^{2}-t}$ 和${\displaystyle A(t)=t}$ ^[2]:§8.3.

• 适应过程
• 循序可测过程