开普勒三角
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开普勒三角形是特殊的直角三角形,它的三边之比等于,其中是黄金比,.德国数学家及天文学家开普勒最早提出三边满足此比例的三角形。这种三角形将黄金比的性质与勾股定理巧妙地结合在了一起.
与代数的关系
给定两个正实数a、b,若他们的算术平均数、几何平均数、调和平均数能够构成一个直角三角形,那么这个直角三角形一定是开普勒三角形。
作开普勒三角形
- 用尺规作图法作一个正方形
- 作出其中一边的中点
- 连接这一中点与与之相对的正方形的顶点
- 以这一中点为圆心,已作出的线段的长为半径作弧。并作出长方形的长边。
- 补全作出的黄金矩形
- 以黄金矩形的一个顶点为圆心,一条长边的长为半径作弧交另一长边于一点,连接该点与顶点,即作出了开普勒三角形。
数学巧合
若绘制一个三边为 的开普勒三角形,并且考虑
- 其外接圆
- 边长等于 (三角形中数值介于中间的边长)的正方形
则正方形的周长( )和圆的周长( )相当接近,误差小于0.1%。
这是因为 的数学巧合,上述的圆和正方形其周长不可能相同,若是相同,就可以求解化圆为方的不可能问题了。换句话说 ,因为 是超越数。
一些资料指出,埃及金字塔设计时有用到开普勒三角[1][2]。不过古埃及人可能不知道有关 和黄金比例 之间的数学巧合[3]。
参考资料
- ^ Squaring the circle, Paul Calter. [2016-12-28]. (原始内容存档于2011-09-02).
- ^ The Great Pyramid, The Great Discovery, and The Great Coincidence, Mark Herkommer, June 24, 2008 (Web archive)
- ^ Markowsky, George. Misconceptions about the Golden Ratio (PDF). College Mathematics Journal (Mathematical Association of America). January 1992, 23 (1): 2–19. JSTOR 2686193. doi:10.2307/2686193. (原始内容存档 (PDF)于2020-12-11).
It does not appear that the Egyptians even knew of the existence of φ much less incorporated it in their buildings