高斯勒让得求积
对于上述的最简单的积分形式,即权重函数 时,关联多项式为勒让得多项式 ,这种方法通常称为高斯勒让德求积,此时权重函数为下式,
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为 的第 个根。
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对于求解低阶积分,选择的点的数目、位置和权重如下表所示。
点的数目, n |
点的位置, xi |
权重, wi |
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1 |
0 |
2
|
2 |
|
1
|
3 |
0 |
8⁄9 |
|
5⁄9 |
4 |
|
|
|
|
5 |
0 |
128⁄225 |
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变区间法则
在使用高斯求积的时候必须要将积分区间 变换到 ,可利用变数变换得:
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对应的高斯求积近似式为
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其他形式
对于如下的通用积分式来说,
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当 , , 时,即为上述内容。我们还可以用别的积分规则,如下表所示。
区间 |
ω(x) |
正交多项式
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---|
[−1, 1] |
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勒让德多项式
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(−1, 1) |
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雅可比多项式
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(−1, 1) |
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切比雪夫多项式 (第一类)
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[−1, 1] |
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切比雪夫多项式 (第二类)
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[0, ∞) |
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拉盖尔多项式
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(−∞, ∞) |
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埃尔米特多项式
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