1 + 2 + 4 + 8 + …
在数学领域,1 + 2 + 4 + 8 + … 是一个无穷级数,它的每一项都是2的幂。作为几何级数,它以 1 为首项,2 为公比。
如果以代数运算的方式来计算这个数列的和,虽然可以得到∞以及-1这两个值,但这必须在更广泛的意义中才能成立。
在历史和数学教育,1 + 2 + 4 + 8 + …是正项发散几何级数的一个基本例子。许多结果和争论引出了许多类似级数,其他的例子如2 + 6 + 18 + 54 + …。
求和
1 + 2 + 4 + 8 + … 的部分和数列是 1, 3, 7, 15, …,由于该数列发散到无穷,所以部分和数列也发散到无穷。因此任何通常求和方法得到的和将是无穷,包括切萨罗求和法和阿贝尔求和法。[1]
另一方面,有一种广义方法使得 1 + 2 + 4 + 8 + … 的和为有限值 -1。相应的幂级数
的收敛半径为 1/2,因此它在 x = 1 时不收敛。然而,这样定义的函数 f 在去掉点 x = 1/2 后,具有到复平面唯一的解析开拓,并且具有相同的形式 f(x) = 1/(1 − 2x)。由于 f(1) = −1,原级数 1 + 2 + 4 + 8 + … 是可求和的 (E),其和为 −1,并且 -1 是级数的(E)和。(此标识方式是由戈弗雷·哈罗德·哈代参考莱昂哈德·欧拉在无穷级数上的研究而得)[2]
用几乎完全相同的方法可以考虑系数为 1 的幂级数,例如:
并用 y = 2 代入。当然这两个级数可由关系式 y = 2x 等价转换。
事实上(E)和为1 + 2 + 4 + 8 + …分配了一个有限值,这表明广义方法不是完全符合惯例的。另一方面,他具有某些求和法可取的性质,包括稳定性和线性性质。这些后面的两个公理实际上强制级数的和为 -1,因此它令下面的操作有效:
在某种意义下,s = ∞ 是方程 s = 1 + 2s的一个解(例如∞是黎曼球上莫比乌斯变换z → 1 + 2z 的两个不动点之一)。如果某种已知的求和方法返回一个常数s,例如不是∞,那么这是容易确定的。在这种情形下s可能由方程的两边消去,得到 0 = 1 + s,所以 s = −1。[3]
注释
参考文献
- Gardiner, A. Understanding infinity: the mathematics of infinite processes Dover. Dover. 2002 [1982]. ISBN 0-486-42538-X.
- Hardy, G.H. Divergent Series. Clarendon Press. 1949. LCC QA295 .H29 1967.
更多资料
- Barbeau, E.J., and P.J. Leah. Euler's 1760 paper on divergent series. Historia Mathematica. May 1976, 3 (2): 141–160. doi:10.1016/0315-0860(76)90030-6.
- Euler, Leonhard. De seriebus divergentibus. Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae. 1760, 5: 205–237 [2009-10-25]. (原始内容存档于2013-09-26).
- Ferraro, Giovanni. Convergence and Formal Manipulation of Series from the Origins of Calculus to About 1730. Annals of Science. 2002, 59: 179–199. doi:10.1080/00033790010028179.
- Kline, Morris. Euler and Infinite Series. Mathematics Magazine. November 1983, 56 (5): 307–314 [2009-10-25]. doi:10.2307/2690371. (原始内容存档于2019-08-21).
- Sandifer, Ed. Divergent series (PDF). How Euler Did It. MAA Online. June 2006 [2009-10-25]. (原始内容存档 (PDF)于2013-03-20).
- Sierpińska, Anna. Humanities students and epistemological obstacles related to limits. Educational Studies in Mathematics. November 1987, 18 (4): 371–396. doi:10.1007/BF00240986.