凸共轭

数学中,凸共轭勒让德变换的一种推广;凸共轭也被称作Legendre–Fenchel变换,或者Fenchel变换,以阿德里安-马里·勒让德(Adrien-Marie Legendre)和Werner Fenchel命名。

定义

函数 扩展的实数轴上取值。

它的凸共轭定义为: 

这里, 表示实赋范向量空间 表示 对偶空间

映射 表示一个二次型,满足:对于  )中任意非零元素 ,总能在 (对应地, )中找到一个元素 使得 

例子

1.仿射变换 

它的凸共轭是:  

2.幂函数 

它的凸共轭是:   这里  

3.绝对值变换 

它的凸共轭是:  

4.指数函数  

它的凸共轭是:  

性质

逆序性

如果 ,那么就有 。这里的 指,对定义域中所有元素 ,都有 成立。

半连续性与两次凸共轭

函数 的凸共轭总具有半连续性,因此函数 的两次共轭 也具有半连续性。同时, 还是是闭凸包,也即最大的凸的半连续函数,满足 

由Fenchel-Moreau定理可以知道,对于proper的函数   当且仅当 是半连续的凸函数。

Fenchel不等式

  , 这里   的凸共轭。

凸性

凸共轭算子自身是凸的,即:

取函数  间任意实数 ,有:  成立。

最小值卷积

对于两个函数fg,它们的最小值卷积被定义为

 

如果 f1, …, fm 都是Rn上的proper且凸且半连续的函数。那么它们的最小值卷积是凸且半连续的(但不一定proper),并且满足关系

 

两个函数的最小值卷积具有几何意义。两个函数的最小值卷积的超图是这两个函数的超图闵可夫斯基和