在数学中,凸共轭是勒让德变换的一种推广;凸共轭也被称作Legendre–Fenchel变换,或者Fenchel变换,以阿德里安-马里·勒让德(Adrien-Marie Legendre)和Werner Fenchel命名。
定义
函数 在扩展的实数轴上取值。
它的凸共轭定义为:
这里, 表示实赋范向量空间, 表示 的对偶空间。
映射 表示一个二次型,满足:对于 ( )中任意非零元素 ,总能在 (对应地, )中找到一个元素 使得 。
例子
1.仿射变换
它的凸共轭是:
2.幂函数
它的凸共轭是:
这里
3.绝对值变换
它的凸共轭是:
4.指数函数
它的凸共轭是:
性质
逆序性
如果 ,那么就有 。这里的 指,对定义域中所有元素 ,都有 成立。
半连续性与两次凸共轭
函数 的凸共轭总具有半连续性,因此函数 的两次共轭 也具有半连续性。同时, 还是是闭凸包,也即最大的凸的半连续函数,满足 。
由Fenchel-Moreau定理可以知道,对于proper的函数 , 当且仅当 是半连续的凸函数。
Fenchel不等式
, 这里 , 是 的凸共轭。
凸性
凸共轭算子自身是凸的,即:
取函数 , 间任意实数 ,有: 成立。
最小值卷积
对于两个函数f和g,它们的最小值卷积被定义为
-
如果 f1, …, fm 都是Rn上的proper且凸且半连续的函数。那么它们的最小值卷积是凸且半连续的(但不一定proper),并且满足关系
-
两个函数的最小值卷积具有几何意义。两个函数的最小值卷积的超图是这两个函数的超图的闵可夫斯基和