解析容度

紧集${\displaystyle K\subset \mathbb {C} }$ 的解析容度定义为

${\displaystyle \gamma (K)=\sup\{|f'(\infty )|:f\in {\mathcal {H}}^{\infty }(\mathbb {C} \setminus K),\|f\|_{\infty }\leq 1,f(\infty )=0\}}$ 

其中，${\displaystyle {\mathcal {H}}^{\infty }(U)}$ 表示有界解析函数${\displaystyle f:U\to \mathbb {C} }$ 组成的集合。此外，

${\displaystyle f'(\infty ):=\lim _{z\to \infty }{z(f(z)-f(\infty ))}}$ 

${\displaystyle f(\infty ):=\lim _{z\to \infty }{f(z)}}$ 

注意如果令${\displaystyle g(z)=f(1/z)}$ ，则有${\displaystyle f'(\infty )=g'(0)}$ 。但是，一般来说${\displaystyle f'(\infty )\neq \lim _{z\to \infty }{f'(z)}}$ 。

对任意集合${\displaystyle A\subset \mathbb {C} }$ ，定义

${\displaystyle \gamma (A)=\sup _{K\subset A}{\gamma (K)}}$ 

其中K取遍所有包含于A的紧集。

设K是紧集，若对任意包含K的开集${\displaystyle \Omega }$ ，集合${\displaystyle \Omega \setminus K}$ 上的有界全纯函数都可以解析延拓到整个${\displaystyle \Omega }$ 上，则称K是可去集。根据黎曼可去奇点定理，单点集都是可去的。这启发保罗·潘勒韦于1880年提出了一个更一般的问题：“${\displaystyle \mathbb {C} }$ 的哪些子集是可去的？”

容易看出，K是可去的当且仅当${\displaystyle \gamma (K)=0}$ 。然而，解析容度是纯复分析的概念，要得到更多的几何特性描述还有许多工作要做。

对紧集${\displaystyle K\subset \mathbb {C} }$ ，存在唯一的极值函数，即${\displaystyle f\in {\mathcal {H}}^{\infty }(\mathbb {C} \setminus K)}$ 使得${\displaystyle \|f\|\leq 1,f(\infty )=0,f'(\infty )=\gamma (K)}$ 。这个函数称为K的阿尔福斯函数。

用${\displaystyle \dim _{H}}$ 表示豪斯多夫维数，${\displaystyle {\mathcal {H}}^{1}}$ 表示1维豪斯多夫测度。则${\displaystyle {\mathcal {H}}^{1}(K)=0}$ 蕴含${\displaystyle \gamma (K)=0}$ ，而${\displaystyle \dim _{H}(K)>1}$ 保证了${\displaystyle \gamma (K)>0}$ 。然而，${\displaystyle \dim _{H}(K)=1}$ 

与${\displaystyle {\mathcal {H}}^{1}(K)>0}$ 的情况要复杂得多。

长度大于0而解析容度等于0的例子

之前给出了紧集的1维豪斯多夫测度与解析容度的部分对应关系，据此可以猜想${\displaystyle \gamma (K)=0}$ 蕴含${\displaystyle {\mathcal {H}}^{1}(K)=0}$ 。然而，这个猜想是错的。A. G. Vitushkin首先给出了反例，J. Garnett又给出了简单得多的例子。后者给出的构造如下：

设${\displaystyle K_{0}:=[0,1]\times [0,1]}$ 是单位正方形。然后${\displaystyle K_{1}}$ 是4个边长1/4的正方形的并，这4个小正方形分别位于${\displaystyle K_{0}}$ 的四个角。以此类推，${\displaystyle K_{n}}$ 是${\displaystyle 4^{n}}$ 个边长为${\displaystyle 4^{-n}}$ 的正方形（记做${\displaystyle Q_{n}^{j}}$ ）的并，每个${\displaystyle Q_{n}^{j}}$ 位于某个${\displaystyle Q_{n-1}^{k}}$ 的一角。令K是所有${\displaystyle K_{n}}$ 的交，则${\displaystyle {\mathcal {H}}^{1}(K)={\sqrt {2}}}$ ，但是${\displaystyle \gamma (K)=0}$ 。

Vitushkin猜想

设${\displaystyle K\subset \mathbb {C} }$ 是紧集，Vitushkin猜想叙述为

${\displaystyle \gamma (K)\iff \int _{0}^{\pi }{{\mathcal {H}}^{1}(\operatorname {proj} _{\theta }{K})d\theta }=0}$ 

其中${\displaystyle \operatorname {proj} _{\theta }(x,y):=x\cos \theta +y\sin \theta }$ 表示在方向${\displaystyle \theta }$ 上的正交投影。根据上面的结果，当${\displaystyle \dim _{H}(K)\neq 1}$ 时，Vitushkin猜想为真。

Guy David于1998年证明了Vitushkin猜想在${\displaystyle \dim _{H}(K)=1}$ 且${\displaystyle {\mathcal {H}}^{1}(K)<\infty }$ 的情况。2002年，Xavier Tolsa证明了解析容度是半可数可加的（countably semiadditive）。即，存在常数${\displaystyle C>0}$ 使得对紧集${\displaystyle K=\bigcup _{i=1}^{\infty }{K_{i}}}$ （其中${\displaystyle K_{i}}$ 是博雷尔集），${\displaystyle \gamma (K)\leq C\sum _{i=1}^{\infty }{\gamma (K_{i})}}$ 

David与Tolsa的定理合起来能推导出，当K关于${\displaystyle {\mathcal {H}}^{1}}$ 是σ有限的时，Vitushkin猜想为真。可是，对于不是${\displaystyle {\mathcal {H}}^{1}}$ σ有限的1维的K，这个猜想仍然有待解决。

• Mattila, Pertti (1995). Geometry of sets and measures in Euclidean spaces. Cambridge University Press. ISBN 0-521-65595-1.
• Pajot, Hervé (2002). Analytic Capacity, Rectifiability, Menger Curvature and the Cauchy Integral. Lecture Notes in Mathematics. Springer-Verlag.
• J. Garnett, Positive length but zero analytic capacity, Proc. Amer. Math. Soc. 21 (1970), 696–699
• G. David, Unrectifiable 1-sets have vanishing analytic capacity, Rev. Math. Iberoam. 14 (1998) 269–479
• Dudziak, James J. (2010). Vitushkin's Conjecture for Removable Sets. Universitext. Springer-Verlag. ISBN 978-14419-6708-4.
• Tolsa, Xavier (2014). Analytic Capacity, the Cauchy Transform, and Non-homogeneous Calderón–Zygmund Theory. Progress in Mathematics. Birkhäuser Basel. ISBN 978-3-319-00595-9.