数学上,加托导数(英文: Gâteaux derivative)是微分学中的方向导数的概念的推广。它以勒内·加托命名,他是一位法国数学家,年青时便死于第一次世界大战。它定义于局部凸的拓扑向量空间上,可以和巴拿赫空间上的弗雷歇导数作对比。二者都经常用于形式化泛函导数的概念,常见于变分法和物理学,特别是量子场论。和其他形式的导数不同,加托导数是非线性的。
定义
假设 和 是局部凸拓扑向量空间,(例如巴拿赫空间), 是开集合(open set),且 。
在点 沿着 方向的加托偏微分(Gâteaux differential) 定义为
-
如果极限存在。固定 若 对于所有 都存在,则称 在 是加托可微(Gâteaux differentiable )。若 在 是加托可微,称 为在 的加托导数。
称 是在 中连续可微的若
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是连续的。
属性
若加托导数存在,则其为唯一。
对于每个 ,加托导数是一个算子 。
该算子是齐次的,使得
,但是它通常不是可加的,并且,因此而不总是线性的,不像Fréchet导数。
例子
令 为一个在欧几里得空间 勒贝格可测集 上的平方可积函数的希尔伯特空间,也就是说 是勒贝格可测集 。泛函 由
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给出,其中 是一个定义在实数上的可微实值函数且 而 为定义在 的实数值函数,则加托导数为
- 这符号代表 .
更详细的说:
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令 (并假设所有积分有定义),得到加托导数
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也就是,内积
参看
参考