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数学上,可导双射函数的反函数微分可由的导函数给出。若使用拉格朗日记法,反函数[注 1]的导数公式为:
该表述等价于
其中 表示一元微分算子(在函数的空间上), 表示二元复合算子。
记,则上式可用莱布尼兹符号写成:
换言之,函数及其反函数的导数均可逆[注 2],并且乘积为1。这是链式规则的直接结果,因为
而 相对于 的导数为1。
几何上,函数和反函数有关于直线 y = x.镜像的图像,这种映射将任何线的斜率变成其倒数。
假设 在的邻域有一个反函数并且它在该点的导数不为零,则它的反函数保证在 x 处是可微的,并有上述公式给出的导数。
反函数举例
- ( 为正)具有逆 中。
-
-
但是,在 x = 0有一个问题:平方根函数图像变为垂直的,相对应平方函数的水平切线。
- ( 为实数)具有逆 ( 为正值)
-
-
其他属性
- [注 3]
可见,具有连续导数的函数(光滑函数)在其导数非零的每一点的邻域内都有反函数。如果导数不连续的,则上述积分公式不成立。
高阶导数
上面给出的链式法则是通过对等式 关于 微分得到的。对于更高阶的导数,可以继续同样的过程。对恒等式对 求导两次,得到
-
使用链式法则进一步简化为
-
用之前得到的恒等式替换一阶导数,得到
-
对三阶导数类似:
-
或者用二阶导数的公式,
-
这些公式是由Faa di Bruno公式推广。
这些公式也可以用拉格朗日表示法来表示。如果 和 是互逆的,则
-
反函数的微分举例
- 有逆运算 。使用反函数的二次导数公式,
-
于是,
- ,
与直接计算相同。
注释
参见