柯西-欧拉方程

观察可知${\displaystyle y=x^{r}}$ 是一个特定解：

${\displaystyle 0=x^{2}y''+bxy'+cy}$ 

${\displaystyle =x^{2}r(r-1)x^{r-2}+bxrx^{r-1}+cx^{r}}$ 

${\displaystyle =(r^{2}+(b-1)r+c)x^{r}}$ 

因为${\displaystyle x^{r}=0}$ 当且仅当${\displaystyle x=0}$ ，所以要考虑二次方程${\displaystyle r^{2}+(b-1)r+c=0}$ 的解。

${\displaystyle r={1 \over 2}\left(1-b\pm {\sqrt {b^{2}-2b-4c+1}}\right).}$ 

设${\displaystyle p,q}$ 为二次方程的解。若${\displaystyle p,q}$ 不相等，${\displaystyle y}$ 的一般解则为${\displaystyle y=Ax^{p}+Bx^{q}}$ 。

若${\displaystyle p=q=(1-b)/2}$  ，其中一个特定解为${\displaystyle x^{r}\ln {x}}$ ：

${\displaystyle x^{2}(x^{r}\ln {x})''+bx(x^{r}\ln {x})'+cx^{r}\ln {x}}$ 

${\displaystyle =x^{r}(\ln {x}(r^{2}+(b-1)r+c)+2r+b-1)}$ 

代入${\displaystyle r=(1-b)/2}$ 便知右方括号内等于0。因此核实${\displaystyle x^{r}\ln {x}}$ 是一个特定解。

于是，便有两个线性独立解，继而可得：${\displaystyle y=Ax^{r}+Bx^{r}\ln {x}}$ 。

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• 伯努利微分方程
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