伯努利微分方程此条目没有列出任何参考或来源。 (2019年4月26日)维基百科所有的内容都应该可供查证。请协助补充可靠来源以改善这篇条目。无法查证的内容可能会因为异议提出而移除。伯努利微分方程是形式如 y ′ + P ( x ) y = Q ( x ) y n {\displaystyle y'+P(x)y=Q(x)y^{n}\,} 的常微分方程。 目录 1 解法 2 例子 3 参见 4 外部链接 解法 y ′ + P ( x ) y = Q ( x ) y n {\displaystyle y'+P(x)y=Q(x)y^{n}\,} 代入 w = y 1 − n {\displaystyle w={y^{1-n}}\,} (注意 w ′ = ( 1 − n ) y n y ′ {\displaystyle w'={\frac {(1-n)}{y^{n}}}y'} ): w ′ 1 − n + P ( x ) w = Q ( x ) {\displaystyle {\frac {w'}{1-n}}+P(x)w=Q(x)} 此一阶常微分方程可用积分因子求解。 例子 解以下微分方程。 y ′ − 2 y x = − x 2 y 2 {\displaystyle y'-{\frac {2y}{x}}=-x^{2}y^{2}} 两边除以 y 2 {\displaystyle y^{2}} ,得: y ′ y − 2 − 2 x y − 1 = − x 2 {\displaystyle y'y^{-2}-{\frac {2}{x}}y^{-1}=-x^{2}} 利用分离变数法,可得: w = 1 y {\displaystyle w={\frac {1}{y}}} w ′ = − y ′ y 2 . {\displaystyle w'={\frac {-y'}{y^{2}}}.} w ′ + 2 x w = x 2 {\displaystyle w'+{\frac {2}{x}}w=x^{2}} 它可以用积分因子的方法来解出。 M ( x ) = e 2 ∫ 1 x d x = x 2 . {\displaystyle M(x)=e^{2\int {\frac {1}{x}}dx}=x^{2}.} 两边乘以 M ( x ) {\displaystyle M(x)} ,得: w ′ x 2 + 2 x w = x 4 , {\displaystyle w'x^{2}+2xw=x^{4},\,} 等式的左边是 w x 2 {\displaystyle wx^{2}} 的导数。两边积分,得: ∫ ( w x 2 ) ′ d x = ∫ x 4 d x {\displaystyle \int (wx^{2})'dx=\int x^{4}dx} w x 2 = 1 5 x 5 + C {\displaystyle wx^{2}={\frac {1}{5}}x^{5}+C} 1 y x 2 = 1 5 x 5 + C {\displaystyle {\frac {1}{y}}x^{2}={\frac {1}{5}}x^{5}+C} 于是: y = x 2 1 5 x 5 + C {\displaystyle y={\frac {x^{2}}{{\frac {1}{5}}x^{5}+C}}} 参见 里卡蒂方程 柯西-欧拉方程 克莱罗方程 全微分方程 线性微分方程外部链接 Bernoulli equation. PlanetMath. Differential equation. PlanetMath. Index of differential equations. PlanetMath.