全微分方程是常微分方程的一种,它在物理学和工程学中广泛使用。
定义
给定R2的一个单连通的开子集D和两个在D内连续的函数I和J,那么以下形式的一阶常微分方程
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称为全微分方程,当且仅当存在一个连续可微的函数F,称为势函数,使得
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以及
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“全微分方程”的命名指的是函数的全导数。对于函数 ,全导数为:
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例子
函数
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是以下全微分方程的势函数。
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势函数的存在
在物理学的应用中,I和J通常不仅是连续的,也是连续可微的。施瓦茨定理(也称为克莱罗定理)提供了势函数存在的一个必要条件。对于定义在单连通集合上的微分方程,这个条件也是充分的,我们便得出以下的定理:
给定以下形式的微分方程:
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其中I和J在R2的单连通开子集D上是连续可微的,那么势函数F存在,当且仅当下式成立:
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全微分方程的解
给定一个定义在R2的单连通开子集D上的全微分方程,其势函数为F,那么D内的可微函数f是微分方程的解,当且仅当存在实数c,使得
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对于初值问题
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我们可以用以下公式来寻找一个势函数:
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解方程
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其中c是实数,我们便可以构造出所有的解。
参见
参考文献
- Boyce, W. E. and DiPrima, R. C. Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, 4th ed. New York: Wiley, 1986.
- Ross, C. C. §3.3 in Differential Equations. New York: Springer-Verlag, 2004.
- Zwillinger, D. Ch. 62 in Handbook of Differential Equations. San Diego, CA: Academic Press, 1997.