列维-奇维塔联络

设 ${\displaystyle (M,g)}$  为一黎曼流形（或伪黎曼流形），则仿射联络 ${\displaystyle \nabla }$  在满足以下条件时是列维-奇维塔联络。

1. 无挠率：也就是，对任何向量场 ${\displaystyle X,Y}$  我们有 ${\displaystyle \nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X=[X,Y]}$ ，其中 ${\displaystyle [X,Y]}$  是向量场 ${\displaystyle X}$  和 ${\displaystyle Y}$  的李括号。

1. 与度量相容：也就是,对任何向量场 ${\displaystyle X,Y,Z}$ 我们有 ${\displaystyle Xg(Y,Z)=g(\nabla _{X}Y,Z)+g(Y,\nabla _{X}Z)}$ ，其中 ${\displaystyle Xg(Y,Z)}$  表示函数 ${\displaystyle g(Y,Z)}$  沿向量场 ${\displaystyle X}$  的导数。

列维-奇维塔联络也定义了一个沿曲线的导数，通常用 ${\displaystyle D}$  表示。

给定一个在 ${\displaystyle (M,g)}$  上的光滑曲线 ${\displaystyle \gamma }$ 和${\displaystyle \gamma }$  上的一个向量场 ${\displaystyle V}$ ，其导数定义如下

${\displaystyle {\frac {D}{dt}}V=\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}V.}$ 

• 埃雷斯曼联络
• 嘉当联络
• 仿射联络
• 曲率形式

• MathWorld: Levi-Civita Connection （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• PlanetMath: Levi-Civita Connection