伽辽金法

一个问题的弱形式

我们通过一个抽象问题来引入伽辽金方法，将问题表示成在一个希尔伯特空间${\displaystyle V}$ 上的弱形式，也就是，求解${\displaystyle u\in V}$ 使得对于所有${\displaystyle v\in V}$ 

${\displaystyle a(u,v)=f(v)}$ 

成立。这里，${\displaystyle a(.,.)}$ 是一个双线性型表达式,即${\displaystyle a(u,v)=u^{T}av=f(v)}$ ，${\displaystyle f}$ 是一个${\displaystyle V}$ 上的线性形表达式。

伽辽金离散化

选取一个n 维子空间${\displaystyle V_{n}\subset V}$ ，然后求解问题在子空间中的投影：求${\displaystyle u_{n}\in V_{n}}$ 使得对于所有${\displaystyle v_{n}\in V_{n}}$ 

${\displaystyle a(u_{n},v_{n})=f(v_{n}).}$ 

我们称这个方程为伽辽金方程。注意方程形式没有改变，但是求解域改变了。

伽辽金正交性

这是使得伽辽金方法非常有效的关键性质。因为${\displaystyle V_{n}\subset V}$ ，我们可以取${\displaystyle v_{n}}$ 为原方程的一个试矢量。带入并相减，便得到误差的伽辽金正交性关系

${\displaystyle a(e_{n},v_{n})=a(u,v_{n})-a(u_{n},v_{n})=f(v_{n})-f(v_{n})=0.}$ 

这里${\displaystyle e_{n}=u-u_{n}}$ 是真实解${\displaystyle u}$ 和伽辽金方程的解${\displaystyle u_{h}}$ 之间的误差。

矩阵形式

因为伽辽金方法的目标是将问题简化为线性方程组，我们来构造它的矩阵形式，以便利用计算机进行数值求解。

令${\displaystyle e_{1},e_{2},\ldots ,e_{n}}$ 为${\displaystyle V_{n}}$ 空间中的一组基。则显然依次选取这些基矢量作为伽辽金方程的试矢量是充分的，也即：求解${\displaystyle u_{n}\in V_{n}}$ 使得

${\displaystyle a(u_{n},e_{i})=f(e_{i})\quad i=1,\ldots ,n.}$ 

用上述基矢量表示出${\displaystyle u_{n}}$ ：${\displaystyle u_{n}=\sum _{j=1}^{n}u_{j}e_{j}}$ ，将其代入上面的方程得到

${\displaystyle a(\sum u_{j}e_{j},e_{i})=\sum u_{j}a(e_{j},e_{i})=f(e_{i})\quad i=1,\ldots ,n.}$ 

这样我们就得到了上面这组${\displaystyle Au=f}$ 型的线性方程组，式中

${\displaystyle a_{ij}=a(e_{j},e_{i}),\quad f_{i}=f(e_{i}).}$ 

矩阵的对称性

由于矩阵项的定义，伽辽金方程的系数矩阵是对称矩阵的充要条件是双线性型表达式${\displaystyle a(.,.)}$ 是对称的。

这里，我们只讨论对称双线性型，也即

${\displaystyle a(u,v)=a(v,u).}$ 

虽然伽辽金方法并不要求一定对称，但这一限制使得标准理论的应用变得简单的多。而且，非对称情形的分析可能需要用到彼得罗夫－伽辽金方法。

下面我们分两步分析上述方法。第一步，论证伽辽金方程在哈达玛意义下是适定的，因此存在唯一解。第二步，讨论伽辽金解${\displaystyle u_{n}}$ 的误差大小。

分析过程主要依据双线性型的两个性质：

• 有界性：对于所有${\displaystyle u,v\in V}$ ，下式成立

  ${\displaystyle a(u,v)\leq C\|u\|\,\|v\|}$ 

• 椭圆性：对于所有${\displaystyle u\in V}$ ，下式成立

  ${\displaystyle a(u,u)\geq c\|u\|^{2}}$ 

根据Lax-Milgram定理（参看弱形式），这两条性质保证了原问题的弱形式的适定性。下面章节中的所有范数都是使得上面的不等式成立的范数（这些范数通常称为能量范数）。

伽辽金方程的适定性

因为${\displaystyle V_{n}\subset V}$ ，双线性型的有界性和椭圆性对于${\displaystyle V_{n}}$ 也成立。因此，伽辽金问题的适定性实际上继承自其原问题的适定性。

准最佳近似（Céa引理）

真实解和伽辽金解之间的误差${\displaystyle e_{n}=u-u_{n}}$ 有如下估计

${\displaystyle \|e_{n}\|\leq {\frac {C}{c}}\inf _{v_{n}\in V_{n}}\|u-v_{n}\|.}$ 

上式翻译成文字语言就是：伽辽金解${\displaystyle u_{n}}$ 的误差（和真实解${\displaystyle u}$ 的差）能控制在${\displaystyle V_{h}}$ 中最优解矢量的误差的${\displaystyle C/c}$ 倍以下（在量级上）。特别有用的是，从此对误差的估计可以只在空间${\displaystyle V_{n}}$ 中进行考虑，而完全不用回到求解的方程。

证明

因为证明非常简单，并且是各种伽辽金法的基本原理依据，因此简单介绍如下： 根据双线性型的椭圆性和有界性（下式中的两个不等号），以及伽辽金法的正交性（下式中间的等号），我们对于任意${\displaystyle v_{n}\in V_{n}}$ 有：

${\displaystyle c\|e_{n}\|^{2}\leq a(e_{n},e_{n})=a(e_{n},u-v_{n})\leq C\|e_{n}\|\,\|u-v_{n}\|.}$ 

全式除以${\displaystyle c\|e_{n}\|}$ 并对所有可能的${\displaystyle v_{h}}$ 取下确界得到该引理。

1. 在有限元法中应用泊松方程
2. 应用到共轭梯度法

通常，伽辽金法不是文献的单独主题。它们和它们的应用同时讨论。 因此，读者可以参考有限元方法的教科书。

譬如

• P. G. Ciarlet: The Finite Element Method for Elliptic Problems, North-Holland, 1978

在这个框架下的Krylov空间法的分析可以在这里找到：

• Y. Saad: Iterative Methods for Sparse Linear Systems, 2nd edition, SIAM, 2003

• 伽辽金法（英文）（Galerkin's Method）
• MathWorld对伽辽金法的介绍（页面存档备份，存于互联网档案馆）