麦克斯韦方程组的历史

麦克斯韦方程组这术语原本指的是麦克斯韦于1865年在论文《电磁场的动力学理论》提出的一组八个方程^[2]。但是，现在常见的麦克斯韦方程组，乃是经过亥维赛于1884年编排修改而成的四个方程^[3]。同时期，吉布斯和赫兹分别都研究出类似的结果。有很久一段时间，这些方程被总称为赫兹-亥维赛方程组、麦克斯韦-赫兹方程组或麦克斯韦-亥维赛方程组^[3][4]。

麦克斯韦写出的这些方程，对于电磁学的贡献，主要是在他1861年的论文《论物理力线》内，他将位移电流项目加入了安培定律，将安培定律修改成麦克斯韦-安培定律^[5]。这添加的项目使他后来在论文《电磁场的动力学理论》中，能够推导出电磁波方程，在理论上证明了光波就是电磁波^[2]。

麦克斯韦认为位势变量（电势和磁矢势）是他的方程组的中心概念。对于这想法，亥维赛强烈地驳斥，认为位势属于形而上学的概念，只有电场和磁场才是最基础、最实际的物理量。他试着除去方程组内的位势变量。亥维赛努力研究的结果是一双对称的方程^[3]：

${\displaystyle \mathbf {J} _{H}=\nabla \times \mathbf {H} }$ 、

${\displaystyle \mathbf {M} =-\nabla \times \mathbf {E} }$ ；

其中，${\displaystyle \mathbf {J} _{H}}$ 是包括位移电流密度在内的总电流密度，${\displaystyle \mathbf {H} }$ 是磁场强度，${\displaystyle \mathbf {E} }$ 是电场，${\displaystyle \mathbf {M} }$ 是总磁流密度。

总磁流密度${\displaystyle \mathbf {M} }$ 定义为

${\displaystyle \mathbf {M} \ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}+\mathbf {m} _{c}}$ ；

其中，${\displaystyle \mathbf {B} }$ 是磁场，${\displaystyle \mathbf {m} _{c}}$ 是磁荷的运动所产生的磁流。

到现在为止，由于物理学家还没有找到任何磁粒子，${\displaystyle \mathbf {m} _{c}}$ 可以设定为零。

在1860年代麦克斯韦总结电磁关系方程组的过程中，也对安培定律做出过修改。当时已知的对恒定电流的磁场方程（即安培定律）为

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} ={\frac {\mathbf {j} }{\epsilon _{0}c^{2}}}}$ ；

其中 ${\displaystyle \mathbf {j} }$ 为电流通量。后来他注意到这个式子有点奇怪，因为当取这个方程的散度，左边为零，因为一个旋度的散度始终为零；所以这一方程要求 ${\displaystyle \mathbf {j} }$  的散度也是零。但如果这样，则电流总通量本身 ${\displaystyle \mathbf {j} }$  也将是零，否则就不能满足电荷守恒，即

${\displaystyle \nabla \mathbf {j} =-{\frac {\partial \rho }{\partial t}}}$ .

麦克斯韦认识到这个困难后提出通过添加一个${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}}$ 的新项来避免这个问题，即把安培定律修改为

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} ={\frac {\mathbf {j} }{\epsilon _{0}c^{2}}}+{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}}$ ；

这样一来，当取上式的散度时， ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {j} +\epsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\nabla \cdot \mathbf {E} =0}$ .

由高斯定律已知电场${\displaystyle \mathbf {E} }$ 的散度为${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}}$ ,将其带入上式则得到了${\displaystyle \nabla \mathbf {j} =-{\frac {\partial \rho }{\partial t}}}$ .可见麦克斯韦添加了一个新项后的安培定律的电荷是守恒的。 这个被麦克斯韦修改后的安培定律成为今天通用的安培定律。^[6] 因此，也有人把这个修改后的安培定律称为“麦克斯韦-安培方程”。

对于添加的新的项 ${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}}$  ，可以理解为位移电流项。对于这个新方程的物理意义，麦克斯韦曾尝试利用弹性固体那样的真空模型以及机械模型来进行解释。但这些解释并不令人满意；有物理学家认为重要的在于麦克斯韦方程组本身是正确的，而不必在乎是用哪种物理模型来得到这些答案的。^[6]

在那时期的电磁学可以形容为众多实验结果和数学分析的大杂烩，急需整合成一套内外一致，有条有理的学术理论。装备着剑桥大学物理系对于物理学生精心栽培的比拟能力，麦克斯韦试图创建一个能够描述各种电磁现象的模型。在他的1855年论文《论法拉第力线》里^[7]，麦克斯韦将法拉第想出的力线延伸为装满了不可压缩流体的“力管”。这力管的方向代表力场（电场或磁场）的方向，力管的截面面积与力管内的流体速度成反比，而这流体速度可以比拟为电场或磁场。既然电场或磁场能够比拟为流体速度，当然可以要求电场或磁场遵守流体力学的部分理论。那么，借用流体力学的一些数学框架，即可推导出一系列初成形的电磁学雏论^[8]。

在这篇论文的后半部，麦克斯韦他将法拉第的电紧张态辨识为开尔文男爵的磁矢势，并且对于电紧张态给出严格定义。这是麦克斯韦学术生涯中的第一个重要突破。^[9]

1861年，麦克斯韦在发表的一篇论文《论物理力线》里，提出了“分子涡流模型”^[5]。由于法拉第效应显示出，在通过介质时，偏振光会因为外磁场的作用，转变偏振的方向，因此，麦克斯韦认为磁场是一种旋转现象^[10]。在他设计的“分子涡流模型”里，他将力线延伸为“涡流管”。许多单独的“涡胞”（涡旋分子）组成了一条条的涡流管。在这涡胞内部，不可压缩流体绕着旋转轴以均匀角速度旋转。由于离心力作用，在涡胞内部的任意微小元素会感受到不同的压力。知道这压力的分布，就可以计算出微小元素感受到的作用力。透过分子涡流模型，麦克斯韦详细地分析与比拟这作用力内每一个项目的物理性质，合理地解释各种磁场现象和其伴随的作用力。

麦克斯韦对于分子涡流模型提出几点质疑。假设邻近两条磁力线的涡胞的旋转方向相同。假若这些涡胞之间会发生摩擦，则涡胞的旋转会越来越慢，终究会停止旋转；假若这些涡胞之间是平滑的，则涡胞会失去传播信息的能力。为了要避免这些棘手的问题，麦克斯韦想出一个绝妙的点子：他假设在两个相邻涡胞之间，有一排微小圆珠，将这两个涡胞隔离分开。这些圆珠只能滚动（rolling），不能滑动。圆珠旋转的方向相反于这两个涡胞的旋转方向，这样，就不会引起摩擦。圆珠的平移速度是两个涡胞的周边速度的平均值。这是一种运动关系，不是动力关系。麦克斯韦将这些圆珠的运动比拟为电流。从这模型，经过一番复杂的运算，麦克斯韦能够推导出安培定律、法拉第感应定律等等。

麦克斯韦又给予这些涡胞一种弹性性质。假设施加某种外力于圆珠，则这些圆珠会转而施加切力于涡胞，使得涡胞变形。这代表了一种静电状态。假设外力与时间有关，则涡胞的变形也会与时间有关，因而形成了电流。这样，麦克斯韦可以比拟出电位移和位移电流。不但是在介质内，甚至在真空（麦克斯韦认为没有完全的真空，乙太弥漫于整个宇宙），只要有磁力线，就有涡胞，位移电流就可以存在。因此，麦克斯韦将安培定律加以延伸，增加了一个有关于位移电流的项目，称为“麦克斯韦修正项”。聪明睿智的麦克斯韦很快地联想到，既然弹性物质会以波动形式传播能量于空间，那么，这弹性模型所比拟的电磁场应该也会以波动形式传播能量于空间。不但如此，电磁波还会产生反射，折射等等波动行为。麦克斯韦计算出电磁波的传播速度，发觉这数值非常接近于，先前从天文学得到的，光波传播于行星际空间（interplanetary space）的速度。因此，麦克斯韦断定光波就是一种电磁波。

现今常见的麦克斯韦方程组，在论文内出现了很多次：

1. 在论文内，方程（56）是高斯磁定律：

   ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}(\mu \alpha )+{\frac {d}{dy}}(\mu \beta )+{\frac {d}{dz}}(\mu \gamma )=0}$  ;

   其中，${\displaystyle \mu }$ 是涡胞的质量密度，对应于磁导率，${\displaystyle \alpha }$ 、${\displaystyle \beta }$ 、${\displaystyle \gamma }$ 分别为涡胞的周边速度向量的三个投影于x-轴、y-轴和z-轴的分量，对应于${\displaystyle \mathbf {H} }$ 的三个分量。
2. 方程（112）是麦克斯韦-安培定律：

   ${\displaystyle p={\frac {1}{4\pi }}\left({\frac {d\gamma }{dy}}-{\frac {d\beta }{dz}}-{\frac {1}{E^{2}}}{\frac {dP}{dt}}\right)}$ 、

   ${\displaystyle q={\frac {1}{4\pi }}\left({\frac {d\alpha }{dz}}-{\frac {d\gamma }{dx}}-{\frac {1}{E^{2}}}{\frac {dQ}{dt}}\right)}$ 、

   ${\displaystyle r={\frac {1}{4\pi }}\left({\frac {d\beta }{dx}}-{\frac {d\alpha }{dy}}-{\frac {1}{E^{2}}}{\frac {dR}{dt}}\right)}$ ；

   其中，${\displaystyle p}$ 、${\displaystyle q}$ 、${\displaystyle r}$ 分别为每秒钟通过单位面积的圆粒数量向量的三个分量，分别对应于电流密度${\displaystyle \mathbf {J} }$ 的三个分量，${\displaystyle P}$ 、${\displaystyle Q}$ 、${\displaystyle R}$ 分别为在涡胞之间的圆粒所感受到的作用力的三个分量，分别对应于电场${\displaystyle \mathbf {E} }$ 的三个分量。
   这方程右边第三个项目是包括了位移电流的麦克斯韦修正项。后来，他在1865年的论文《电磁场的动力学理论》中，延续先前的点子，推导出电磁波方程，在理论上证明了光波是电磁波。很有趣地是，完全没有使用到位移电流的概念，古斯塔夫·基尔霍夫就能够于1857年推导出电报方程（telegraph equations）。但是，他使用的是泊松方程和电荷连续方程。位移电流的数学要素就是这两个方程。可是，基尔霍夫认为他的方程只适用于导线内部。因此，他始终没有发觉光波就是电磁波的事实。
3. 方程（115）是高斯定律：

   ${\displaystyle e={\frac {1}{4\pi E^{2}}}\left({\frac {dP}{dx}}+{\frac {dQ}{dy}}+{\frac {dR}{dz}}\right)}$  ;

   其中，${\displaystyle e}$ 是单位体积的圆粒数量，对应于电荷密度${\displaystyle \rho }$ ，${\displaystyle E}$ 是涡胞的弹性常数，对应于电容率${\displaystyle \epsilon }$ 的平方根的倒数。
4. 方程（54）是

   ${\displaystyle {\frac {dQ}{dz}}-{\frac {dR}{dy}}=\mu {\frac {d\alpha }{dt}}}$ 、

   ${\displaystyle {\frac {dR}{dx}}-{\frac {dP}{dz}}=\mu {\frac {d\beta }{dt}}}$ 、

   ${\displaystyle {\frac {dP}{dy}}-{\frac {dQ}{dx}}=\mu {\frac {d\gamma }{dt}}}$ ；

   方程（77）是

   ${\displaystyle P=\mu \gamma {\frac {dy}{dt}}-\mu \beta {\frac {dz}{dt}}+{\frac {dF}{dt}}-{\frac {d\Psi }{dx}}}$ 、

   ${\displaystyle Q=\mu \alpha {\frac {dz}{dt}}-\mu \gamma {\frac {dx}{dt}}+{\frac {dG}{dt}}-{\frac {d\Psi }{dy}}}$ 、

   ${\displaystyle R=\mu \beta {\frac {dx}{dt}}-\mu \alpha {\frac {dy}{dt}}+{\frac {dH}{dt}}-{\frac {d\Psi }{dz}}}$ ；

   其中，${\displaystyle F}$ 、${\displaystyle G}$ 、${\displaystyle H}$ 分别为在涡胞之间的圆粒的动量的三个分量，分别对应于磁矢势${\displaystyle \mathbf {A} }$ 的三个分量，${\displaystyle \Psi }$ 是圆粒与圆粒相互作用于对方的压力，对应于电势${\displaystyle \phi }$ 。
   方程（54）是亥维赛指为法拉第感应定律的方程。法拉第的原本的通量定律将含时方面和运动方面的问题合并在一起处理。麦克斯韦用方程（54）来专门处理电磁感应涉及的含时方面的问题，用方程（77）来处理电磁感应涉及的运动方面的问题。稍后列出的原本的八个麦克斯韦方程之中的方程（D）就是方程（77），对应于现在的洛伦兹力定律。当亨德里克·洛伦兹还是年轻小伙子的时候，麦克斯韦就已经推导出这方程了。

于1864年，麦克斯韦发表了论文《电磁场的动力学理论》^[2]。这篇论文的第三节的标题为电磁场一般方程，在这节里，麦克斯韦写出了二十个未知量的二十个方程；其中，有十八个方程可以用六个向量方程集中表示（对应于每一个直角坐标轴，有一个方程），另外两个是标量方程。所以，以现代向量标记，麦克斯韦方程组可以表示为八个方程，分别为

（A）总电流定律

${\displaystyle \mathbf {J} _{tot}=\mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}}$ 、

（B）磁场方程

${\displaystyle \mu \mathbf {H} =\nabla \times \mathbf {A} }$ 、

（C）安培环流定律

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} _{tot}}$ 、

（D）洛伦兹力方程

${\displaystyle \mathbf {E} =\mu \mathbf {v} \times \mathbf {H} -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}-\nabla \phi }$ 、

（E）电弹性方程

${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {1}{\epsilon }}\mathbf {D} }$ 、

（F）欧姆定律

${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {1}{\sigma }}\mathbf {J} }$ 、

（G）高斯定律

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {D} =\rho }$ 、

（H）连续方程

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {J} =-{\frac {\partial \rho }{\partial t}}}$ 。

在这篇论文里，麦克斯韦推导出光波是一种电磁现象。在他的导引里，他并没有用法拉第感应定律，而是用方程（D）来解释电磁感应作用。现代教科书大多是用法拉第感应定律来解释电磁感应作用。事实上，他的八个方程里，并没有包括法拉第感应方程在内。

这篇论文明确地阐明，能量储存于电磁场内。因此，它在历史上首先建立了场论的基础概念。^[9]

发行于1873年，麦克斯韦亲自著作的《电磁通论》是一本电磁学教科书。在这本书内，方程被收集成两组。第一组是

${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}}$ 、

${\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} }$ ；

其中，${\displaystyle \phi }$ 是电势，${\displaystyle \mathbf {A} }$ 是磁矢势。

第二组是

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {D} =\rho }$ 、

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} -{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}=\mathbf {J} }$ 。

从第一组的两个方程，分别取旋度和散度，则可得到法拉第感应定律和高斯磁定律的方程：

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-\nabla \times {\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}=-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}$ 、

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}$ 。