Jury稳定性准则
Jury稳定性准则(Jury stability criterion)是在信号处理及控制理论中,判断线性离散系统稳定性的方式,是利用分析特征多项式来进行分析。Jury稳定性准则是劳斯–赫尔维茨稳定性判据的离散时间版本。Jury稳定性判据要求系统的极点都要位在以原点为圆心的单位圆内,劳斯–赫尔维茨稳定性判据要求系统的极点在复数平面的左半边。Jury稳定性准则得名自伊拉克裔美籍工程师殷巴尔·易卜拉欣·朱瑞。
方法
系统的特征多项式如下
用以下的方式来建构表格[1]:
row | zn | zn-1 | zn-2 | z.... | z1 | z0 |
---|---|---|---|---|---|---|
1 | a0 | a1 | a2 | ... | an-1 | an |
2 | an | an-1 | an-2 | ... | a1 | a0 |
3 | b0 | b1 | ... | bn-2 | bn-1 | |
4 | bn-1 | bn-2 | ... | b1 | b0 | |
5 | c0 | c1 | ... | cn-2 | ||
6 | cn-2 | cn-3 | ... | c0 | ||
... | ... | ... | ... | ... | ... | ... |
2n-5 | p3 | p2 | p1 | p0 | ||
2n-4 | p0 | p1 | p2 | p3 | ||
2n-3 | q2 | q1 | q0 |
因此,第一行是多项式的系数,从常数项次而高次项次排列,第二行则是第一行的反序。
第三行是将第一行减去第二行乘以 ,而第四行是第三行的反序(并且维持最后一个元素为零)。
表格继续往下延伸,直到有一行只有一个非零元素为止。
针对头两行相减的系数是 ,针对第三行及第四行相减的系数就变成 ,因此所得的多项式会少一项。
稳定性测试
若 ,而 , , ...都是正值,表示系统的根都在单位圆内,系统稳定。只要上述有任何一个小于零,表示系统至少有一个根都在单位圆外,系统不稳定。
若Jury稳定性准则发现 , , ...中有一个为负值,即可结束测试,因为至少有一个根都在单位圆外,系统不稳定。
程式实现
此方式用电脑的动态阵列很容易实现。也可以确认系统所有的根(实根或是复数根)都在单位圆内。向量v是原多项式的系数,从最高项次到常数项。
/* vvd is the jury array */
vvd.push_back(v); // Store the first row
reverse(v.begin(),v.end());
vvd.push_back(v); // Store the second row
for(i=2;;i+=2)
{
v.clear();
double mult=vvd[i-2][vvd[i-2].size()-1]/vvd[i-2][0]; // This is an/a0 as mentioned in the article.
for( j=0;j<vvd[i-2].size()-1;j++) // Take the last 2 rows and compute the next row
v.push_back(vvd[i-2][j] - vvd[i-1][j]*mult);
vvd.push_back(v);
reverse(v.begin(),v.end()); // reverse the next row
vvd.push_back(v);
if(v.size()==1) break;
}
// Check is done using
for(i=0;i<vvd.size();i+=2)
{
if(vvd[i][0]<=0) break;
}
if(i==vvd.size())
"All roots lie inside unit disc "
else
"no"
范例
若已知 的分母多项式为 ,判断该系统是否稳定。
解答:因为
将 的系数排列成朱利表(如下):
row | z4 | z3 | z2 | z1 | z0 |
---|---|---|---|---|---|
1 | 4 | -4 | 0 | 2 | -1 |
2 | -1 | 2 | 0 | -4 | 4 |
3 | 15 | -14 | 0 | 4 | |
4 | 4 | 0 | -14 | 15 | |
5 | 209 | -210 | 56 |
且
即满足Jury稳定条件,因此 所有极点位于 内,故系统是稳定的。
相关条目
- 林纳德–奇帕特判据:由劳斯–赫尔维茨稳定性判据产生的另一个连续系统稳定性判据。
参考资料
若需要更多细节,可以参考以下连结:
- A note on the reduced Schur–Cohn criterionArchive.is的存档,存档日期2013-06-28
- Wikibooks on Control Systems - Jury's Test (页面存档备份,存于互联网档案馆)
进阶参考资料:
- 存档副本 (PDF). [2019-03-10]. (原始内容 (PDF)存档于2008-08-02).
- Benidir, M. On the root distribution of general polynomials with respect to the unit circle. Signal Processing. 1996, 53: 75. doi:10.1016/0165-1684(96)00077-1.
- http://www.laas.fr/~henrion/Papers/lyap.ps.gz (页面存档备份,存于互联网档案馆)
有关实现的资料:
- http://www.ticalc.org/archives/files/fileinfo/426/42696.html (页面存档备份,存于互联网档案馆) (TI-83+/84+ graphing calculators)