巴都万数列(Padovan Sequence)是一个整数数列[1],其起始数值跟递推关系定义为:
P(n) 的前几个值是:
- 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 16, 21, 28, 37, 49, 65, 86, 114, 151, 200, 265, ... (OEIS数列A000931)
此数列以建筑师理察·巴都万命名,理察·巴都万把此数列的发现归功于荷兰建筑师汉斯·范·德·兰在1994年发表的论文《Dom. Hans van der Laan : Modern Primitive》[2]。1996年6月,艾恩·史都华在《科学美国人》杂志提到这个数列。
递推关系
- (此关系可从图中见得)
-
-
-
佩兰数列满足相同的递推关系。它亦可从巴都万数列定义:
反巴都万数列
使用递推关系 可将巴都万数列推广到负数项。这样的定义跟将斐波那契数推广到反斐波那契数列相似。另一方面,反斐波那契数列取绝对值便和斐波那契数列相等,但反巴都万数列却不:
... -7, 4, 0, -3, 4, -3, 1, 1, -2, 2, -1, 0, 1, -1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1 ...
项的和
首 项(包括第0项)之和比 少2:
-
下面是每隔数项的和:
-
-
-
-
-
-
下面的恒等式跟项与项的乘积之和有关:
-
-
-
其他恒等式
-
巴都万数列跟二项式系数之和有关:
-
估计值
有三个根:唯一的实数根 (即银数)和两个复数根 和 。
-
因为 和 的绝对值都少于1,当 趋近无限,其幂会趋近0。因此,对于很大的 ,可以以下面的公式估计:
-
从上面的公式亦知 的值趋近银数。
整数分拆上的定义
可以用不同的整数分拆来定义。
- 是将 写成一个有序、每项是2或3的和式的方法的数目。例如 ,有4种方法将8写成这类和式:
- 2+2+2+2 ; 2+3+3 ; 3+2+3 ; 3+3+2
- 是将 写成一个有序且式中没有项为2的和式的方法的数目。例如 ,有7种方法将5写成这类和式:
- 1+1+1+1+1 ; 1+1+3 ; 1+3+1 ; 3+1+1 ; 4+1 ; 1+4 ; 5
- 是将 写成一个有序且“回文型”且式中没有项为2的和式的方法的数目。例如 ,有9种方法将9写成这类和式:
- 9 ; 1+7+1 ; 1+1+5+1+1 ; 1+1+1+3+1+1+1 ; 1+1+1+1+1+1+1+1+1; 3+3+3 ; 4+1+4 ; 3+1+1+1+3; 1+3+1+3+1
- 若上述情况改为 ,则数列如下:
- 1+1+1+1+1+1+1+1: 4+4; 3+1+1+3; 1+3+3+1; 1+1+4+1+1; 1+6+1; 8
- 是将 写成一个有序的、每项除以3都余2的和式的方法的数目。例如 ,有5种方法将11写成这类和式:
- 11 ; 2+2+2+5 ; 2+2+5+2 ; 2+5+2+2 ; 5+2+2+2
生成函数
巴都万数列的生成函数为
-
它可以用于证明巴都万数跟几何级数的项的积的等式,例如:
-
多项式
巴都万数列可以一般化成一个多项式的集。
-
首七个巴都万多项式为:
-
-
-
-
-
-
-
-
第 个巴都万数即 。
其他特质
- 奇偶性:按“奇奇奇偶偶奇偶”的组合重复出现。
- 数列中的素数: (OEIS:A000931)
- 数列中的平方数:
参考文献
- ^ Weisstein, Eric W. (编). Padovan Sequence. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语).
- ^ Richard Padovan. Dom Hans van der Laan: modern primitive: Architectura & Natura Press, ISBN 9789071570407.
外部链接