巴都万数列

巴都万数列(Padovan Sequence)是一个整数数列[1],其起始数值跟递推关系定义为:

以巴都万数为边长的等边三角形组成的螺旋

P(n) 的前几个值是:

1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 16, 21, 28, 37, 49, 65, 86, 114, 151, 200, 265, ... (OEIS数列A000931

此数列以建筑师理察·巴都万英语Richard Padovan命名,理察·巴都万把此数列的发现归功于荷兰建筑师汉斯·范·德·兰英语Hans van der Laan在1994年发表的论文《Dom. Hans van der Laan : Modern Primitive》[2]。1996年6月,艾恩·史都华在《科学美国人》杂志提到这个数列。

递推关系

  •  (此关系可从图中见得)
  •  
  •  
  •  

佩兰数列满足相同的递推关系。它亦可从巴都万数列定义:  

反巴都万数列

使用递推关系 可将巴都万数列推广到负数项。这样的定义跟将斐波那契数推广到反斐波那契数列相似。另一方面,反斐波那契数列取绝对值便和斐波那契数列相等,但反巴都万数列却不:

... -7, 4, 0, -3, 4, -3, 1, 1, -2, 2, -1, 0, 1, -1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1 ...

项的和

 项(包括第0项)之和比 少2:

 

下面是每隔数项的和:

 
 
 
 
 
 

下面的恒等式跟项与项的乘积之和有关:

 
 
 

其他恒等式

 

巴都万数列跟二项式系数之和有关:

 

估计值

 有三个根:唯一的实数 (即银数)和两个复数  

 

因为  的绝对值都少于1,当 趋近无限,其会趋近0。因此,对于很大的 ,可以以下面的公式估计:

 

从上面的公式亦知 的值趋近银数。

整数分拆上的定义

 可以用不同的整数分拆来定义。

  •  是将 写成一个有序、每项是2或3的和式的方法的数目。例如 ,有4种方法将8写成这类和式:
2+2+2+2 ; 2+3+3 ; 3+2+3 ; 3+3+2
  •  是将 写成一个有序且式中没有项为2的和式的方法的数目。例如 ,有7种方法将5写成这类和式:
1+1+1+1+1 ; 1+1+3 ; 1+3+1 ; 3+1+1 ; 4+1 ; 1+4 ; 5
  •  是将 写成一个有序且“回文型”且式中没有项为2的和式的方法的数目。例如 ,有9种方法将9写成这类和式:
9 ; 1+7+1 ; 1+1+5+1+1 ; 1+1+1+3+1+1+1 ; 1+1+1+1+1+1+1+1+1; 3+3+3 ; 4+1+4 ; 3+1+1+1+3; 1+3+1+3+1
  • 若上述情况改为 ,则数列如下:
1+1+1+1+1+1+1+1: 4+4; 3+1+1+3; 1+3+3+1; 1+1+4+1+1; 1+6+1; 8
  •  是将 写成一个有序的、每项除以3都余2的和式的方法的数目。例如 ,有5种方法将11写成这类和式:
11 ; 2+2+2+5 ; 2+2+5+2 ; 2+5+2+2 ; 5+2+2+2

生成函数

巴都万数列的生成函数

 

它可以用于证明巴都万数跟几何级数的项的积的等式,例如:

 

多项式

巴都万数列可以一般化成一个多项式的集。

 

首七个巴都万多项式为:

 
 
 
 
 
 
 
 

 个巴都万数即 

其他特质

  • 奇偶性:按“奇奇奇偶偶奇偶”的组合重复出现。
  • 数列中的素数 OEIS:A000931
  • 数列中的平方数 

参考文献

  1. ^ Weisstein, Eric W. (编). Padovan Sequence. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语). 
  2. ^ Richard Padovan. Dom Hans van der Laan: modern primitive: Architectura & Natura Press, ISBN 9789071570407.

外部链接