非互补欧拉商数

非互补欧拉商数（noncototient）是指一个正整数n，不存在任一个整数m使下式成立：

${\displaystyle m-\varphi (m)=n,}$

其中${\displaystyle \varphi (m)}$表示欧拉函数，是小于m的正整数中和m互质整数的个数，${\displaystyle m-\varphi (m)}$称为m的互补欧拉商数，因此非互补欧拉商数就是指不在互补欧拉商数值域内的整数。

头几个非互补欧拉商数是：

10, 26, 34, 50, 52, 58, 86, 100, 116, 122, 130, 134, 146, 154, 170, 172, 186, 202, 206, 218, 222, 232, 244, 260, 266, 268, 274, 290, 292, 298, 310, 326, 340, 344, 346, 362, 366, 372, 386, 394, 404, 412, 436, 466, 470, 474, 482, 490, 518, 520 （OEIS数列A005278）。

目前已知的非互补欧拉商数均为偶数，因此猜想所有的非互补欧拉商数均为偶数，猜想中有用到有经过修改的哥德巴赫猜想：若偶数n可以表示为二个相异质数p及q的和，则

${\displaystyle pq-\varphi (pq)=pq-(p-1)(q-1)=p+q-1=n-1.\,}$

依照哥德巴赫猜想，所有大于6的偶数都可以表示为二个相异质数p及q的和，此偶数减1所得的奇数就是pq的互补欧拉商数，因此很可能所有大于5的奇数都是互补欧拉商数，而未考虑到的奇数有1,3,5，而${\displaystyle 1=2-\phi (2),3=9-\phi (9)}$, ${\displaystyle 5=25-\phi (25)}$，这些数也都是互补欧拉商数，因此很可能所有的非互补欧拉商数均为偶数。

Erdős和Sierpinski曾猜想存在有无限多个非互补欧拉商数，后来Browkin和Schinzel在1995年证实此一猜想，他们证明无穷数列${\displaystyle 2^{k}\cdot 509203}$的每一项都是非互补欧拉商数，Flammenkamp和Luca在2000年提出了其他形式大致接近的范例。