设 为包含某点 的区间, 为定义在 上的函数。若对于所有属于 而不等于 的 ,有:
-
-
则 。
和 分别称为 的下界和上界。
若在 的端点,上面的极限是左极限或右极限。
对于 ,这个定理还是可用的。
有关正弦函数的极限
对于 ,
在任何包含0的区间上,除了 , 均有定义。
对于实数值,正弦函数的绝对值不大于1,因此 的绝对值也不大于 。设 , :
-
-
-
,根据夹挤定理
- 。
对于 ,
首先用几何方法证明:若 , 。
称(1,0)为D。A是单位圆圆周右上部分的一点。 在 上,使得 垂直 。过 作单位圆的切线,与 的延长线交于 。
由定义可得 , 。
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因为 ,根据夹挤定理
- 。
另一边的极限可用这个结果求出。
高斯函数
高斯函数的积分的应用包括连续傅立叶变换和正交化。
一般高斯函数的积分是 ,现在要求的是 。
被积函数对于y轴是对称的,因此 是被积函数对于所有实数的积分的一半。
这个二重积分在一个 的正方形内。它比其内切圆大,比外接圆小。这些可用极坐标表示:
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极限为0的情况
若 , ,而且 。
设 ,根据函数的极限的定义,存在 使得:若 ,则 。
由于
,故 。
若 ,则 。于是, 。
一般情况
当 :
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- 根据上面已证的特殊情况,可知 。
- 。