夹挤定理

夹挤定理(英语:Squeeze theorem),又称夹逼定理夹极限定理三明治定理逼近定理迫敛定理,是有关函数极限的数学定理。指出若有两个函数在某点的极限相同,且有第三个函数的值在这两个函数之间,则第三个函数在该点的极限也相同[1]

定义

 为包含某点 区间 为定义在 上的函数。若对于所有属于 而不等于  ,有:

  •  
  •  

 

  分别称为 下界上界

 若在 的端点,上面的极限是左极限或右极限。 对于 ,这个定理还是可用的。

例子

有关正弦函数的极限

对于  

在任何包含0的区间上,除了  均有定义。

对于实数值,正弦函数的绝对值不大于1,因此 的绝对值也不大于 。设 ,  

 
 
 

 ,根据夹挤定理

 

对于  

首先用几何方法证明:若  

称(1,0)为D。A是单位圆圆周右上部分的一点。  上,使得 垂直 。过 作单位圆的切线,与 的延长线交于 

由定义可得  

 
 
 
 
 
 

因为 ,根据夹挤定理

 

另一边的极限可用这个结果求出。

高斯函数

高斯函数积分的应用包括连续傅立叶变换和正交化。 一般高斯函数的积分是 ,现在要求的是 

被积函数对于y轴是对称的,因此 是被积函数对于所有实数的积分的一半。

 

这个二重积分在一个 的正方形内。它比其内切圆大,比外接圆小。这些可用极坐标表示:

 
 
 
 
 

证明

极限为0的情况

  ,而且 

 ,根据函数的极限的定义,存在 使得:若 ,则 

由于  ,故 

 ,则 。于是, 

一般情况

 

 

 

 
根据上面已证的特殊情况,可知 
 

参考

  1. ^ Stewart, James. Chapter 15.2 Limits and Continuity. Multivariable Calculus (6th ed.). 2008: 909–910. ISBN 978-0495011637.