夹挤定理

设${\displaystyle I}$ 为包含某点${\displaystyle a}$ 的区间，${\displaystyle f,g,h}$ 为定义在${\displaystyle I}$ 上的函数。若对于所有属于${\displaystyle I}$ 而不等于${\displaystyle a}$ 的${\displaystyle x}$ ，有：

• ${\displaystyle g(x)\leq f(x)\leq h(x)}$ 
• ${\displaystyle \lim _{x\to a}g(x)=\lim _{x\to a}h(x)=L}$ 

则${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=L}$ 。

${\displaystyle g(x)}$ 和${\displaystyle h(x)}$ 分别称为${\displaystyle f(x)}$ 的下界和上界。

${\displaystyle a}$ 若在${\displaystyle I}$ 的端点，上面的极限是左极限或右极限。 对于${\displaystyle x\to \infty }$ ，这个定理还是可用的。

有关正弦函数的极限

对于 ${\displaystyle \lim _{x\to 0}x^{2}\sin {\frac {1}{x}}}$ ，

在任何包含0的区间上，除了${\displaystyle x=0}$ ，${\displaystyle f(x)=x^{2}\sin {\frac {1}{x}}}$ 均有定义。

对于实数值，正弦函数的绝对值不大于1，因此${\displaystyle f(x)}$ 的绝对值也不大于${\displaystyle x^{2}}$ 。设${\displaystyle g(x)=-x^{2}}$ , ${\displaystyle h(x)=x^{2}}$ ：

${\displaystyle -1\leq \sin {\frac {1}{x}}\leq 1}$ 

${\displaystyle -x^{2}\leq x^{2}\sin {\frac {1}{x}}\leq x^{2}}$ 

${\displaystyle g(x)\leq f(x)\leq h(x)}$ 

${\displaystyle \lim _{x\to 0}\ g(x)=\lim _{x\to 0}\ h(x)=0}$ ，根据夹挤定理

${\displaystyle \lim _{x\to 0}f(x)=0}$ 。

对于 ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}}$ ，

首先用几何方法证明：若${\displaystyle 0<x<{\frac {\pi }{2}}}$ ，${\displaystyle \cos x<{\frac {\sin x}{x}}<1}$ 。

称(1,0)为D。A是单位圆圆周右上部分的一点。${\displaystyle C}$ 在${\displaystyle OD}$ 上，使得${\displaystyle AC}$ 垂直${\displaystyle OD}$ 。过${\displaystyle A}$ 作单位圆的切线，与${\displaystyle OD}$ 的延长线交于${\displaystyle E}$ 。

由定义可得${\displaystyle x=\angle AOD=arcAD}$ ，${\displaystyle \tan x=AE}$ 。

${\displaystyle AC<AD<arcAD}$ 

${\displaystyle \sin x<x}$ 

${\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}<1}$ 

${\displaystyle arcAD<AE}$ 

${\displaystyle x<\tan x}$ 

${\displaystyle \cos x<{\frac {\sin x}{x}}}$ 

因为${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\cos x=1}$ ，根据夹挤定理

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}{\frac {\sin x}{x}}=1}$ 。

另一边的极限可用这个结果求出。

高斯函数

高斯函数的积分的应用包括连续傅立叶变换和正交化。 一般高斯函数的积分是${\displaystyle I(a)=\int _{0}^{a}e^{-x^{2}}\,dx}$ ，现在要求的是${\displaystyle I(\infty )=\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx}$ 。

被积函数对于y轴是对称的，因此${\displaystyle I(\infty )}$ 是被积函数对于所有实数的积分的一半。

${\displaystyle (2I)^{2}=\left[2\int _{0}^{a}e^{-x^{2}}dx\right]^{2}=\left[\int _{-a}^{a}e^{-x^{2}}dx\right]^{2}=\int _{-a}^{a}\int _{-a}^{a}e^{-(x^{2}+y^{2})}dxdy}$ 

这个二重积分在一个${\displaystyle (-a,-a),(-a,a),(a,-a),(a,a)}$ 的正方形内。它比其内切圆大，比外接圆小。这些可用极坐标表示：

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{a}re^{-r^{2}}\,dr\,d\theta \leq (2I)^{2}\leq \int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{a{\sqrt {2}}}re^{-r^{2}}\,dr\,d\theta }$ 

${\displaystyle \pi (1-e^{-a^{2}})\leq (2I)^{2}\leq \pi (1-e^{-2a^{2}})}$ 

${\displaystyle \lim _{a\to \infty }\pi \left(1-e^{-a^{2}}\right)=\lim _{a\to \infty }\pi \left(1-e^{-2a^{2}}\right)=\pi \vdash [2I(\infty )]^{2}=\pi }$ 

${\displaystyle \lim _{a\to \infty }(2I)^{2}=\pi }$ 

${\displaystyle I(\infty )={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}}$ 

极限为0的情况

若${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} }$ ，${\displaystyle g(x)=0}$ ，而且${\displaystyle \lim _{x\to a}h(x)=0}$ 。

设${\displaystyle \varepsilon >0}$ ，根据函数的极限的定义，存在${\displaystyle \delta >0}$ 使得：若${\displaystyle 0<|x-a|<\delta }$ ，则${\displaystyle |h(x)|<\varepsilon }$ 。

由于 ${\displaystyle 0=g(x)\leq f(x)\leq h(x)}$ ，故${\displaystyle |f(x)|\leq |h(x)|}$ 。

若 ${\displaystyle 0<|x-a|<\delta }$ ，则${\displaystyle |f(x)|\leq |h(x)|<\varepsilon }$ 。于是，${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=0}$ 。

一般情况

${\displaystyle g(x)\leq f(x)\leq h(x)}$ 

${\displaystyle 0\leq f(x)-g(x)\leq h(x)-g(x)}$ 

当${\displaystyle x\to a}$ ：

${\displaystyle h(x)-g(x)\to L-L=0}$ 

根据上面已证的特殊情况，可知${\displaystyle f(x)-g(x)\to 0}$ 。

${\displaystyle f(x)=[f(x)-g(x)]+g(x)\to 0+L=L}$ 。

1. ^ Stewart, James. Chapter 15.2 Limits and Continuity. Multivariable Calculus (6th ed.). 2008: 909–910. ISBN 978-0495011637.