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对位证明法[1](英语:proof by contrapositive,又或者proof by negation),或称否定证明法、逆否命题法[2],是逻辑数学的其中一个证明方法。其与反证法相似,但是是不同的概念。根据逻辑,“”等于“”,即取其逆否命题。[3]
需要注意,对位证明法与反证法不同。
定义
给予给予初始实质条件命题“若P,则Q”: ,对位证明法证明其逻辑等价的逆否命题“若非Q,则非P”: 的真值。
逻辑上,对立证明法的可用性可以以比较逆否命题和原命题的真值表证明,即证明 和 的真值完全一样:
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例子
- “我的妈妈是女人。”需要证明的逆否命题是“不是女人就不是我的妈妈。”
- “若 是单数,则 是双数。”需要证明的逆否命题是“若 不是双数,则 不是单数。”
反证法与对立证明的分别
反证法:假设 正确, ,发现 不对,于是证明 正确。
否定证明:证明 正确,于是转换证明 正确。
证明例子
证明“假设 是双数,则 都会是双数。”
证明:
逆否命题:“假设 不是双数,则 也不是双数。”
换句话讲,即系“假设 是单数,则 也是单数。”
因为 是单数,所以 的 是整数。
因为 是整数,所以 是单数。
集合论例子
如果 都是集(set),而他们符合 和 。证明如果 ,则 。
证明:
如果用直接证明,会很麻烦。但是,如果利用对立证明,即假设 则会简单得多。
因为 ,而 ,所以 。
这样 一定成立。
更多例子
以下命题都可以用对立证明证真:
- 假设 都是自然数。如果 是单数,则 和 都是单数。
- 假设 都是实数。如果 是无理数,则 或者 是无理数。
参见
参考
- ^ 【学习笔记】离散数学(Discrete Math) - 证明 Proof 3. blog.csdn.net. [2021-11-18]. (原始内容存档于2021-11-18).
- ^ 反證法與逆否命題法. 线代启示录. 2016-03-17 [2021-11-18]. (原始内容存档于2021-11-18) (英语).
- ^ Mariotti, M. A. (2006). Proof and proving in mathematics education. Handbook of research on the psychology of mathematics education: Past, present and future, 173-204