平面 (数学)

对于一点${\displaystyle P_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})}$ 和一个向量 ${\displaystyle {\vec {n}}=(a,b,c)}$ ，平面方程为

${\displaystyle ax+by+cz=ax_{0}+by_{0}+cz_{0}}$ 

这是穿过点${\displaystyle P_{0}}$ 并垂直于向量${\displaystyle {\vec {n}}}$ 的平面。

穿过三点${\displaystyle P_{1}=(x_{1},y_{1},z_{1})}$ , ${\displaystyle P_{2}=(x_{2},y_{2},z_{2})}$  和 ${\displaystyle P_{3}=(x_{3},y_{3},z_{3})}$ 的平面的方程可以表述为如下行列式:

${\displaystyle {\begin{vmatrix}x-x_{1}&y-y_{1}&z-z_{1}\\x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}&z_{2}-z_{1}\\x_{3}-x_{1}&y_{3}-y_{1}&z_{3}-z_{1}\end{vmatrix}}=0}$ 

对于一点${\displaystyle P_{1}=(x_{1},y_{1},z_{1})}$ 和一个平面${\displaystyle ax+by+cz+d=0}$ ，从点${\displaystyle P_{1}}$ 到平面的距离是：

${\displaystyle D={\frac {\left|ax_{1}+by_{1}+cz_{1}+d\right|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}}$ 

两个相交平面的夹角，称为二面角（dihedral angle），可以用平面方程${\displaystyle a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z+d_{1}=0}$ 和${\displaystyle a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z+d_{2}=0}$ 给出如下：

${\displaystyle \alpha =\arccos {\frac {a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}+c_{1}c_{2}}{{\sqrt {a_{1}^{2}+b_{1}^{2}+c_{1}^{2}}}{\sqrt {a_{2}^{2}+b_{2}^{2}+c_{2}^{2}}}}}}$ .

• 减少算术和平面几何的难点 （页面存档备份，存于互联网档案馆） 是一个阿拉伯语的手稿，从15世纪，作为一个教程平面的几何和算术