三次互反律

三次互反律最常使用艾森斯坦整数进行表述。艾森斯坦整数是指由形如 ${\displaystyle a+b\,\omega }$  的复数组成的环，记作 ${\displaystyle \mathbb {E} }$ 。其中 ${\displaystyle a}$  和 ${\displaystyle b}$  是整数，${\displaystyle \omega }$  为三次单位根：

${\displaystyle \omega ={\frac {1}{2}}(-1+i{\sqrt {3}})=e^{2\pi i/3}}$ 

如果 ${\displaystyle \pi }$  是${\displaystyle \mathbb {E} }$ 中范数为 ${\displaystyle P}$  的一个 素数。${\displaystyle \alpha }$  与 ${\displaystyle \pi }$  互素。定义三次剩余符号${\displaystyle \left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)_{3}}$  为一个三次单位根，并满足

${\displaystyle \left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)_{3}\ \equiv \ \alpha ^{(P-1)/3}\mod \pi .}$ 

再定义“原初”素数是模${\displaystyle 3}$ 同余于${\displaystyle -1}$ 的素数。由于每个素数在乘以${\displaystyle \mathbb {E} }$ 中的一个单位元后都会成为“原初”素数，因此关于“原初”素数的定律仍具有普遍性。这时，三次互反律说明，对两个不同的“原初”素数 ${\displaystyle \pi }$  和 ${\displaystyle \theta }$ ，有

${\displaystyle \left({\frac {\pi }{\theta }}\right)_{3}=\left({\frac {\theta }{\pi }}\right)_{3}}$ 

此外有辅助定理：如果 ${\displaystyle \pi =-1+3(m+n\omega )}$  那么：

${\displaystyle \left({\frac {\omega }{\pi }}\right)_{3}=\omega ^{m+n}}$ 

${\displaystyle \left({\frac {1-\omega }{\pi }}\right)_{3}=\omega ^{2m}}$ 。

由于

${\displaystyle \left({\frac {\theta \phi }{\pi }}\right)_{3}=\left({\frac {\theta }{\pi }}\right)_{3}\left({\frac {\phi }{\pi }}\right)_{3}}$ 

因此可以计算任意艾森斯坦整数的三次剩余。

• 二次互反律
• 阿廷互反律

• David A. Cox, Primes of the form ${\displaystyle x^{2}+ny^{2}}$ , Wiley, 1989, 编辑
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