不可约元素

不可约元素抽象代数中的名词,是指在整环中一个非零、非单位的元素,而且也无法表示为二个非单位元素的乘积。

不可约元素和质元素的关系

不可约元素和质元素不同,交换环 内的非零、非单位元素 为质元素,表示若在交换环 内存在  ,使得 ,则  必定有一个成立。

整环中,每一个质元素都是不可约元素[1][2],但一般而言,不可约元素不会是质元素。只有在唯一分解整环(或范围更广的GCD环)中的不可约元素才一定是质元素。

再者,一个用质元素产生的理想素理想,但由不可约元素产生的理想一般不会是不可约理想英语irreducible ideal。不过,若 为GCD环,且  环中的不可约元素,则产生的理想会是素理想[3]

举例

二次整数环英语quadratic integer ring 中,可以用范数证明 3 是不可约元素。不过,3 不是质元素,因为

 

  无法整除  ,也无法整除  [4]

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参考资料

  1. ^ 考虑 为一个可约的质元素: ,则  。假如 则可得 。因为 为整环,因此可得 。因此 为单位元素,而 是不可约元素。
  2. ^ Sharpe (1987) p.54
  3. ^ planetmath Irreducible Ideal. [2015-08-25]. (原始内容存档于2010-06-20). 
  4. ^ William W. Adams and Larry Joel Goldstein. Introduction to Number Theory. Prentice-Hall, Inc. 1976: 250. ISBN 0-13-491282-9.