唯一分解整环
在数学中,唯一分解整环(Unique factorization domain)是一个整环,其中元素都可以表示成有限个不可约元素(或素元)之积,并且表示法在允许重排与相伴(associative)之下唯一,相当于满足算术基本定理的整环。唯一分解整环通常以英文缩写UFD表示。
定义
一个整环 被称为唯一分解整环当且仅当 中的每个非零元素 皆可表示为一个可逆元和若干个不可约元素(可以是0个)的乘积:
其中 是一个可逆元, 是不可约元素, 是非负整数。并且如果存在 的另一种表示法此表法 ( 是可逆元, 是不可约元素),则 ,且存在一个下标的重排 与可逆元 使得 ( ),换句话说,存在 使得 和 相伴。
例子
- 主理想整环,特别是欧几里得整环。由此可知整数、高斯整数与艾森斯坦整数环都是唯一分解整环。
- 域也是唯一分解整环。
- 若 为唯一分解整环,则多项式环 亦然。由此可知任意有限个变元的多项式环 也是唯一分解整环,但是一般来说 并不是主理想整环,除非 是一个域。
- 复流形(例如 )上一点的局部环是唯一分解整环。
- 正则局部环皆为唯一分解整环。
以下给出几个反例:
- 环 并非唯一分解环,因为
- 令 为任一交换环,则 非唯一分解整环;当 为域时,这在几何上对应到一个奇点。
性质
整数的一些概念可以推广至唯一分解整环:
等价条件
文献
- I. N. Herstein, Topics in Algebra (1975), Wiley. ISBN 0-471-01090-1
- H. Matsumura, Commutative algebra (1980), Benjamin-Cummings Pub Co. ISBN 0-8053-7026-9