Artin群

数学上，阿廷群（或Artin group、称广义辫群），是指有如下展示的群：

${\displaystyle {\Big \langle }x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}{\Big |}\langle x_{i},x_{j}\rangle ^{m_{i,j}}=\langle x_{j},x_{i}\rangle ^{m_{j,i}},i,j\in \{1,2,\ldots ,n\},i\neq j{\Big \rangle }}$

其中

${\displaystyle m_{i,j}=m_{j,i}\in \{2,3,\ldots ,\infty \}}$.

对${\displaystyle m<\infty }$，${\displaystyle \langle x_{i},x_{j}\rangle ^{m}}$表示长度为${\displaystyle m}$的${\displaystyle x_{i}}$和${\displaystyle x_{j}}$的交错积，以${\displaystyle x_{i}}$开首。例如：

${\displaystyle \langle x_{i},x_{j}\rangle ^{3}=x_{i}x_{j}x_{i}}$，

${\displaystyle \langle x_{i},x_{j}\rangle ^{4}=x_{i}x_{j}x_{i}x_{j}}$。

若${\displaystyle m=\infty }$，按惯例这表示${\displaystyle x_{i}}$和${\displaystyle x_{j}}$间没有关系。

在整数${\displaystyle m_{i,j}}$中加入${\displaystyle m_{i,i}=1}$，可以组成一个对称矩阵，称为这个群的考克斯特矩阵（Coxeter matrix）。在Artin群中加入所有形为${\displaystyle {x_{i}}^{2}=1}$的关系，得到的商群是考克斯特群。这个考克斯特群和原本的Artin群有相同的生成元和考克斯特矩阵。从Artin群到对应的考克斯特群的群同态的核，称为纯阿廷群（pure Artin group）。