内射维度、投射维度与同调维度

以下设 ${\displaystyle A}$  为交换环，而 ${\displaystyle M}$  为 ${\displaystyle A}$ -模。

${\displaystyle M}$  的内射维度 ${\displaystyle \mathrm {id} _{A}(M)}$  定义为其内射分解的最短长度（当 ${\displaystyle M=(0)}$  时置 ${\displaystyle \mathrm {id} _{A}(0)=-\infty }$ ）。投射维度 ${\displaystyle \mathrm {pd} _{A}(M)}$  则定义为其投射分解的最短长度。

利用同调代数的工具，可以进一步得到下述刻划：

命题一. 设 ${\displaystyle n\geq 0}$  为整数，下述条件等价：

• ${\displaystyle \mathrm {id} _{A}(M)\leq n}$ 。
• 对所有 ${\displaystyle A}$ -模 ${\displaystyle N}$ ，有 ${\displaystyle i>n\Rightarrow \mathrm {Ext} _{A}^{i}(N,M)=0}$ 。
• 对所有理想 ${\displaystyle I\subset A}$ ，有 ${\displaystyle \mathrm {Ext} _{A}^{n+1}(A/I,M)=0}$ 。
• 对所有正合序列 ${\displaystyle 0\to M\to I^{0}\to \cdots \to I^{n-1}\to Q\to 0}$ ，若每个 ${\displaystyle I}$  都是内射模，则 ${\displaystyle Q}$  也是内射模。

命题二. 设 ${\displaystyle n\geq 0}$  为整数，下述条件等价：

• ${\displaystyle \mathrm {pd} _{A}(M)\leq n}$ 。
• 对所有 ${\displaystyle A}$ -模 ${\displaystyle N}$ ，有 ${\displaystyle i>n\Rightarrow \mathrm {Ext} _{A}^{i}(M,N)=0}$ 。
• 对所有正合序列 ${\displaystyle 0\to K\to P_{n-1}\to \cdots \to P_{0}\to M\to 0}$ ，若每个 ${\displaystyle P}$  都是投射模，则 ${\displaystyle K}$  也是投射模。

当 ${\displaystyle A}$  为诺特环而 ${\displaystyle M}$  为有限生成 ${\displaystyle A}$ -模时，上述条件更等价于

• 对所有极大理想 ${\displaystyle {\mathfrak {m}}\subset A}$ ，有 ${\displaystyle \mathrm {Ext} _{A}^{n+1}(M,A/{\mathfrak {m}})=0}$ 
• 对所有极大理想 ${\displaystyle {\mathfrak {m}}\subset A}$ ，有 ${\displaystyle \mathrm {Tor} _{n+1}^{A}(M,A/{\mathfrak {m}})=0}$ 

由此可定义环 ${\displaystyle A}$  的同调维度 ${\displaystyle \mathrm {hd} (A)}$ 为：

• ${\displaystyle \sup _{M}\;\mathrm {pd} _{A}(M)}$ 
• ${\displaystyle \sup _{M}\;\mathrm {id} _{A}(M)}$ 
• 存在 ${\displaystyle A}$ -模 ${\displaystyle M,N}$  使得 ${\displaystyle \mathrm {Ext} _{A}^{n}(M,N)\neq 0}$  的最大整数 ${\displaystyle n}$ （可能是无穷大）。

内射维度、投射维度与同调维度对局部化有下述关系：

${\displaystyle \mathrm {id} _{A}(M)=\sup _{\mathfrak {p}}\;\mathrm {id} _{A_{\mathfrak {p}}}(M_{\mathfrak {p}})}$ 

${\displaystyle \mathrm {pd} _{A}(M)=\sup _{\mathfrak {p}}\;\mathrm {pd} _{A_{\mathfrak {p}}}(M_{\mathfrak {p}})}$ 

其中的 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$  取遍 ${\displaystyle A}$  的所有素理想（或极大理想），而投射维度给出 ${\displaystyle \mathrm {Spec} A\to \mathbb {Z} \cup \{\pm \infty \}}$  的上半连续函数。事实上，仅须考虑 ${\displaystyle M}$  的支撑集中的素理想。

由此立刻得到 ${\displaystyle \mathrm {hd} (A)=\sup _{\mathfrak {p}}\;\mathrm {hd} (A)}$ 。

此外，它们与模的深度也有密切的关系，例如：

定理 （Auslander-Buchsbaum）：设 ${\displaystyle A}$  为局部诺特环，${\displaystyle M}$  为有限生成 ${\displaystyle A}$ -模，而且其投射维度有限，则

${\displaystyle \mathrm {pd} _{A}(M)+\mathrm {depth} _{A}(M)=\mathrm {depth} (A)}$ 

定理：设 ${\displaystyle A}$  为局部诺特环，${\displaystyle M}$  为有限生成 ${\displaystyle A}$ -模，而且其内射维度有限，则

${\displaystyle \mathrm {id} _{A}(M)=\mathrm {depth} (A)}$ 

最后，同调维度为正则局部环给出了一个完全内在的刻划：

定理（Serre）：一个局部诺特环 ${\displaystyle A}${\displaystyle A}   是正则局部环的充要条件是 ${\displaystyle \mathrm {hd} (A)<+\infty }$ ，此时 ${\displaystyle \mathrm {hd} (A)=\dim A}$ 。

• N. Bourbaki, Algèbre commutative, chapitre 10 (1998), Masson. ISBN 3-540-34394-6