范数 (域论)在域论，范数是一种映射。 设 K {\displaystyle K} 为域， L {\displaystyle L} 是 K {\displaystyle K} 的有限代数扩张。将 α {\displaystyle \alpha } 与 L {\displaystyle L} 的一个元素相乘，是一个线性变换： m α : L → L {\displaystyle m_{\alpha }:L\to L} N L / K ( α ) {\displaystyle N_{L/K}(\alpha )} 定义为 m α {\displaystyle m_{\alpha }} 的行列式。 因此可得 N L / K {\displaystyle N_{L/K}} 的性质： N L / K ( α ) ∈ K ∀ α ∈ L {\displaystyle N_{L/K}(\alpha )\in K\forall \alpha \in L} N L / K ( α β ) = N L / K ( α ) N L / K ( β ) {\displaystyle N_{L/K}(\alpha \beta )=N_{L/K}(\alpha )N_{L/K}(\beta )} 若 L / K {\displaystyle L/K} 为伽罗瓦扩张， N L / K ( α ) {\displaystyle N_{L/K}(\alpha )} 是 α {\displaystyle \alpha } 所有共轭的积，即是 α {\displaystyle \alpha } 的极小多项式的所有根的积。 代数整数的范数仍是代数整数。 在代数数论亦可为理想定义范数。若 I {\displaystyle I} 是代数数域 K {\displaystyle K} 的整数域 O k {\displaystyle O_{k}} 中的理想， N ( I ) {\displaystyle N(I)} 是 O k / I {\displaystyle O_{k}/I} 的剩余类的数目。 例子 复数的范数：对于 a , b ∈ R {\displaystyle a,b\in \mathbb {R} } ，对于复数此一实数域扩张， N ( a + b i ) = ( a + b i ) ( a − b i ) = a 2 + b 2 {\displaystyle N(a+bi)=(a+bi)(a-bi)=a^{2}+b^{2}} ，即复数和其共轭复数之积，因为 a + b i {\displaystyle a+bi} 在 R {\displaystyle \mathbb {R} } 的极小多项式的根是 a ± b i {\displaystyle a\pm bi} 。 设 L = Q ( 2 ) , K = Q , φ = ( 1 + 5 ) / 2 {\displaystyle L=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}}),K=\mathbb {Q} ,\varphi =(1+{\sqrt {5}})/2} （黄金分割）。 N ( φ ) = ( 1 − 5 ) ( 1 + 5 ) / 4 = 1 {\displaystyle N(\varphi )=(1-{\sqrt {5}})(1+{\sqrt {5}})/4=1} ，因为它在 L {\displaystyle L} 的极小多项式是 x 2 − x − 1 {\displaystyle x^{2}-x-1} 。
