李氏括号

李括号有下列三种定义，这三种定义不同，但是等价：

作为微导的向量场

在一流形M上的所有平滑向量场X 可以视为作用在C^∞(M)的平滑函数 微分算子。的确，每个向量场 X 可成为在C^∞(M) 上的微分算子（导子），因此可定义 X(f) 的函数，计算函数在方向X(p)上点p的f值方向导数，更进一步，于C^∞(M)的任意微导都是源于唯一的平滑向量场X。

一般来说，任意两微导 ${\displaystyle \delta _{1}}$  与${\displaystyle \delta _{2}}$ 的 交换子 ${\displaystyle \delta _{1}\circ \delta _{2}-\delta _{2}\circ \delta _{1}}$  亦是微导，当中 ${\displaystyle \circ }$  为算子之组合。${\displaystyle f\in C^{\infty }(M)}$ 能用于定义关乎微导交换子向量场的李括号：

${\displaystyle [X,Y](f)=X(Y(f))-Y(X(f))}$ .

流与极限

令${\displaystyle \Phi _{t}^{X}}$  为关乎向量场 X 的流 及 D 表示切线图导数算子（tangent map derivative operator），那么在点x ∈ M的 X 与Y 的李括号可以定义为 李导数：

${\displaystyle [X,Y]_{x}\ =\ ({\mathcal {L}}_{X}Y)_{x}\ :=\ \lim _{t\to 0}{\frac {(\mathrm {D} \Phi _{-t}^{X})Y_{\Phi _{t}^{X}(x)}\,-\,Y_{x}}{t}}\ =\ \left.{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right|_{t=0}(\mathrm {D} \Phi _{-t}^{X})Y_{\Phi _{t}^{X}(x)}.}$ 

这也测量了连续方向的failure of the flow ${\displaystyle X,Y,-X,-Y}$  至点 x:

${\displaystyle [X,Y]_{x}\ =\ \left.{\tfrac {1}{2}}{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}\right|_{t=0}(\Phi _{-t}^{Y}\circ \Phi _{-t}^{X}\circ \Phi _{t}^{Y}\circ \Phi _{t}^{X})(x)\ =\ \left.{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right|_{t=0}(\Phi _{\!-{\sqrt {t}}}^{Y}\circ \Phi _{\!-{\sqrt {t}}}^{X}\circ \Phi _{\!{\sqrt {t}}}^{Y}\circ \Phi _{\!{\sqrt {t}}}^{X})(x).}$ 

以坐标表示

虽上述李括号的定义为内在的（和流形M上的座标选择无关)，但在实务上常常会想计算特定坐标系${\displaystyle \{x^{i}\}}$ 下的李氏括号。可以令${\displaystyle \partial _{i}={\tfrac {\partial }{\partial x^{i}}}}$ ，为切线束的相关局部基底，使得对平滑函数${\displaystyle X^{i},Y^{i}:M\to \mathbb {R} }$ 而言，一般向量场能写成 ${\displaystyle \textstyle X=\sum _{i=1}^{n}X^{i}\partial _{i}}$ 与 ${\displaystyle \textstyle Y=\sum _{i=1}^{n}Y^{i}\partial _{i}}$ 。因此李括号可由以下方式计算：

${\displaystyle [X,Y]:=\sum _{i=1}^{n}\left(X(Y^{i})-Y(X^{i})\right)\partial _{i}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\left(X^{j}\partial _{j}Y^{i}-Y^{j}\partial _{j}X^{i}\right)\partial _{i}.}$ 

若 M 是Rⁿ的某开子集，那么向量场X 与 Y 可以写成由平滑函数${\displaystyle X:M\to \mathbb {R} ^{n}}$  与${\displaystyle Y:M\to \mathbb {R} ^{n}}$ 形式，且李括号${\displaystyle [X,Y]:M\to \mathbb {R} ^{n}}$  的表示式如下： ${\displaystyle [X,Y]:=J_{Y}X-J_{X}Y}$ 

此处之 ${\displaystyle J_{Y}}$  与 ${\displaystyle J_{X}}$  是 n×n 雅可比矩阵 乘上 n×1 栏向量 X 与 Y。

向量场的李括号等同于所有在M（也就是切线束的平滑截 ${\displaystyle TM\to M}$ ) 上实向量空间${\displaystyle V=\Gamma (TM)}$ 中的李代数的结构，表 [ • , • ] 为具以下性质之 ${\displaystyle V\times V\to V}$ 的映射：

• R-双线性形式
• 反对称性, ${\displaystyle [X,Y]=-[Y,X]}$ 
• 雅可比恒等式，${\displaystyle [X,[Y,Z]]+[Z,[X,Y]]+[Y,[Z,X]]=0.}$ 

第二性质可马上推得对任意 ${\displaystyle X}$ ，会使具${\displaystyle [X,X]=0}$ 成立。

更进一步说，李括号具有“乘积法则” 。 给定一平滑 (标量值) 函数 f 与在M上的向量场，由每点x ∈ M的标量乘向量Y_x后可以得到一个新的向量场fY ，如此：

• ${\displaystyle [X,fY]\ =\ X\!(f)\,Y\,+\,f\,[X,Y],}$ 

此处用向量场Y乘上标量函数 X(f) ，及向量场[X, Y]与标量函数 f 如此引导出一具李括号的向量场至李代数。

若X 与Y的李括号为零，表示在这些方向可以定义以X 与Y作为座标向量场而内嵌入于M之曲面：

定理: ${\displaystyle [X,Y]=0\,}$  若且为若X 与 Y的流局部交换，此指对所有x ∈ M且足够小的s, t，${\displaystyle (\Phi _{t}^{Y}\Phi _{s}^{X})(x)=(\Phi _{s}^{X}\,\Phi _{t}^{Y})(x)}$ 。

而这为弗罗贝尼乌斯定理的特例。

在证明控制仿射无漂系统（driftless affine control system）的小时间局部可控制性（small-time local controllability、STLC）时，李氏括号是其中重要的一部分。

如上所述，李导数可被视为广义的李括号。其他可视为是（向量值微分形式）广义李括号的有弗勒利歇尔－奈恩黑斯括号（Frölicher–Nijenhuis bracket）

• 非完整系统
• 回授线性化

• Hazewinkel, Michiel (编), Lie bracket, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Isaiah, Pantelis, Controlled parking [Ask the experts], IEEE Control Systems Magazine, 2009, 29 (3): 17–21, 132, doi:10.1109/MCS.2009.932394 
• Khalil, H.K., Nonlinear Systems 3rd, Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, 2002 [2019-08-03], ISBN 0-13-067389-7, （原始内容存档于2017-07-25） 
• Kolář, I., Michor, P., and Slovák, J., Natural operations in differential geometry, Springer-Verlag, 1993 [2019-08-03], （原始内容存档于2021-02-14）  Extensive discussion of Lie brackets, and the general theory of Lie derivatives.
• Lang, S., Differential and Riemannian manifolds, Springer-Verlag, 1995, ISBN 978-0-387-94338-1  For generalizations to infinite dimensions.
• Lewis, Andrew D., Notes on (Nonlinear) Control Theory (PDF) ^{[永久失效链接]}
• Warner, Frank, Foundations of differentiable manifolds and Lie groups, New York-Berlin: Springer-Verlag, 1983 [1971], ISBN 0-387-90894-3