豪斯多夫悖论

豪斯多夫悖论是数学上一个以费利克斯·豪斯多夫命名的悖论，这悖论牵涉了${\displaystyle {\ S^{2}}}$上的三维球${\displaystyle {R^{3}}}$。这悖论指出，若将特定的可数子集从${\displaystyle {\ S^{2}}}$上移除的话，那剩下的部分可分成三个不相交的集合${\displaystyle A}$、${\displaystyle B}$与${\displaystyle {C}}$，其中${\displaystyle A}$、${\displaystyle B}$、${\displaystyle {C}}$与${\displaystyle {B\cup C}}$都彼此全等；特别地，这指出在${\displaystyle {\ S^{2}}}$上，不存在定义于所有子集上且具有有限可加性的测度使得所有全等子集的测度彼此相等，而这是因为若有这样的测度的话，那么${\displaystyle {B\cup C}}$就会同时是整个球的非零测度的${\displaystyle 1/3}$、${\displaystyle 1/2}$及${\displaystyle 2/3}$。

这悖论最早于1914年出现于《Mathematische Annalen（英语：Mathematische Annalen）》及豪斯多夫同年出版的著作《集合论基础（英语：Grundzüge der Mengenlehre）》当中；而更加有名的巴拿赫-塔斯基定理，其证明基于豪斯多夫的想法，而这悖论的证明基于选择公理。

这悖论指出，没有任何有定义于球面上的限可加的测度，其值对所有彼此全等的子集相等（豪斯多夫同时也证明了没有可以定义于所有子集上的可数可加测度），而球旋转所构成的群的结构在此扮演了关键角色─而这叙述在平面或线段上不成立；事实上，巴拿赫后来证明说^[1]，对欧几里得平面上的所有有界子集而言，定义一个使得所有彼此全等的子集都有着相等的测度的“面积”是可能的（这点对实数线上的“长度”一样成立）；然而这个巴拿赫测度（英语：Banach measure）仅具有有限可加性，因此这不是完全意义上的测度，但对于“使得所有彼此全等的子集都有着相等的测度”这性质而言，这测度与勒贝格测度相等，而这表示说两个在平面或实数上等可分解的（equi-decomposable）开集具有相同的面积。