事件 (概率论)

假设我们有一堆52张的扑克牌，并闭着眼睛在这堆牌中抽取一张牌，那么用概率论的术语来说，我们实际上是在做一个随机试验。这时，我们的样本空间是一个有着52个元素的集合，因为任意一张牌都是一个可能的结果。而一个随机事件，则是这个样本空间的任意一个子集（这个任意子集包括空集，一个元素的集合及多个元素的集合）。运用组合知识可以知道，随机事件一共有${\displaystyle 2^{52}}$ 种。当这个事件仅仅包括样本空间的一个元素（或者说它是一个单元素集合）的时候，称这个事件为一个基本事件。比如说事件“抽到的牌是黑桃7”。当事件是空集时，称这个事件为不可能事件。当事件是全集时，则称事件是必然事件。其它还有各种各样的事件，比如：

• “抽到的牌是鬼牌”（也是不可能事件）
• “抽到的牌是红桃3”（基本事件）
• “抽到的牌数字是9”（包含4个元素）
• “抽到的牌是方块”（包含13个元素）
• “抽到的牌是红颜色的并且数字小于等于10”（包含20个元素）
• “抽到的牌不是红桃3”（包含51个元素）

由于事件是样本空间的子集，所以也可以写成集合的形式。有时候写成集合的形式可能会很困难。有时候也可以用文氏图来表示事件，这时可以用事件所代表图形的面积来按比例显示事件的概率。

当样本空间有限，试验中每个基本事件发生的可能性相同的时候，称为古典概型。这时可以（也是一般用到的）取样本空间的所有的子集作为事件。然而，当样本空间不是有限的时候，特别是当样本空间是实数的时候，就不能取所有的子集作为事件了。其中的根本原因在于概率的定义。一般来说，当研究一个随机事件的时候，我们希望知道它发生的概率。事件发生的概率是一个介于0和1之间的数。当样本空间是不可数的时候，如果我们取样本空间所有的子集，那么概率论的公理系统会产生数学上的矛盾，也就是说，会有一些子集无法被定义概率。具体地说，概率论的公理系统是由三个部分${\displaystyle (\Sigma ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ 组成的，又称为概率空间。这个空间包括：样本空间${\displaystyle \Sigma }$ 、事件集合${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ （又称为事件体）以及定义在这上面的一个取概率的运算：${\displaystyle \mathbb {P} }$ 。其中的事件集合${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ 是一个σ-代数，而取概率的运算${\displaystyle \mathbb {P} }$  需要满足概率的加法公理（σ-Additive）：

如果一系列事件${\displaystyle A_{1},A_{2},\cdots }$ 两两互斥（也就是说对任意的${\displaystyle i,j}$ ，${\displaystyle A_{i}\cap A_{j}}$ 都是空集。此亦称为pairwise disjoint）那么就有：

${\displaystyle \mathbb {P} (\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i})=\sum _{i=1}^{\infty }\mathbb {P} (A_{i})}$ 

这个公理是符合一般人的直觉的：如果几件事情互相之间相互排斥，那么“它们几个中有一个发生”的概率应该等于其中每一个发生的概率的和。

然而，对于不可数的样本空间，如果选全部的子集作为事件的话，会有一些子集，无论怎样为他们定义概率，都会违反加法公理。^[1]

一个反例

假设小明和小华玩一个游戏，让小华随意说一个0到1之间的实数。小明为了研究概率，选择了所有[0,1]的子集作为概率集合。他将所有的0到1之间的有理数取出来。由于0到1之间的有理数是可数集合，所以可以做标号：${\displaystyle q_{1},q_{2},\cdots }$ 。对于每一个0到1之间的实数${\displaystyle a}$ ，小明将${\displaystyle a+q_{1},a+q_{2},\cdots }$ 作为一个集合，如果其中有大于1的，就减去1。这个集合是由可数个数构成的，小明把它记作${\displaystyle S_{a}}$ 。构造多个这样的集合${\displaystyle S_{a}}$ 满足其并集是区间[0,1]，且它们之间两两不相交。然后将每个${\displaystyle S_{a}}$ 写成：

${\displaystyle S_{a}=s_{a,1},s_{a,2},\cdots }$ 

再令：

${\displaystyle T_{1}=}$  遍历所有${\displaystyle S_{a}}$  集合中的${\displaystyle s_{a,1}}$  所构成的集合。

${\displaystyle T_{2}=}$  遍历所有${\displaystyle S_{a}}$  集合中的${\displaystyle s_{a,2}}$  所构成的集合。

如此等等，

那么所得到的事件（也就是集合）${\displaystyle T_{1},T_{2},\cdots }$ 的并集也是区间[0,1]，而且它们之间两两不相交。由于这些事件之间地位相等，所以它们的概率${\displaystyle \mathbb {P} (T_{n})}$ 都是一样的。 如果${\displaystyle \mathbb {P} (T_{n})>0}$ ，那么根据加法原则，

${\displaystyle 1=\mathbb {P} ([0,1])=\mathbb {P} (\bigcup _{i=1}^{\infty }T_{i})=\sum _{i=1}^{\infty }\mathbb {P} (T_{i})=\sum _{i=1}^{\infty }\mathbb {P} (T_{1})=+\infty }$ 

而如果${\displaystyle \mathbb {P} (T_{n})=0}$ ，那么根据加法原则，仍然有：

${\displaystyle 1=\mathbb {P} ([0,1])=\mathbb {P} (\bigcup _{i=1}^{\infty }T_{i})=\sum _{i=1}^{\infty }\mathbb {P} (T_{i})=0+0+\cdots =0}$ 

因此无论如何，都会导致矛盾。也就是说小明无法为事件${\displaystyle T_{1}}$ 定出一个概率。在一般的测度理论中，这种集合称为（勒贝格）不可测集合。^[2]

两个随机事件之间可以有各种各样的关系。

• 包含关系：通常用符号${\displaystyle \subset }$ 表示。一个事件${\displaystyle A}$ 包含另一个事件${\displaystyle B}$ 记作：${\displaystyle B\subset A}$ 。这时只要事件${\displaystyle B}$ 发生，那么事件${\displaystyle A}$ 也一定发生。这个关系其实就是集合论中的包含关系。举之前扑克牌的例子来说，假设事件${\displaystyle A}$ 是“抽出的牌上数字是8”，事件${\displaystyle B}$ 是“抽出的牌是梅花8”，那么事件${\displaystyle A}$ 包含事件${\displaystyle B}$ ：只要抽出的是梅花8，牌上的数字自然就是8。

• 等价关系：两个事件对应的子集完全相等，记作${\displaystyle A=B}$ 。例子：事件“抽出的牌花色是黑桃并且数字比3小并且数字是偶数”和事件“抽出的牌是黑桃2”就是等价的。

• 对立关系：两个事件只能有一个发生，并且必然有一个发生，则它们是对立关系。这种关系对应的集合论术语是“补集”。

• 互斥关系：两个事件只能有一个发生，但并不必然有一个发生。这时也称两个事件之间是互不相容的。

独立事件

如果两个事件同时发生的概率等于它们各自发生的概率的乘积，那么就称这两个事件是相互独立的。比如说，“抽到的牌是红桃”和“抽到的牌数字是4”就是相互独立的，因为两者同时发生——抽到的牌是红桃4——的概率是52分之1，而“抽到的牌是红桃”的概率是4分之1，“抽到的牌数字是4”的概率是13分之1，两者相乘便是52分之1。

• 事件${\displaystyle A\cup B}$ ：是事件${\displaystyle A}$ 和事件${\displaystyle B}$ 的和事件（并事件），指的是事件“事件${\displaystyle A}$ 发生或者事件${\displaystyle B}$ 发生”。

• 事件${\displaystyle A\cap B}$ ：是事件${\displaystyle A}$ 和事件${\displaystyle B}$ 的积事件（交事件），指的是事件“事件${\displaystyle A}$ 发生且事件${\displaystyle B}$ 发生”。

• 事件${\displaystyle A-B}$ ：是事件${\displaystyle A}$ 和事件${\displaystyle B}$ 的差事件，指的是事件“事件${\displaystyle A}$ 发生且事件${\displaystyle B}$ 不发生”。

在概率运算时，还有：

• ${\displaystyle P(A\mid B)}$ ：指的是“设 A 与 B 为样本空间 Ω 中的两个事件，其中 P(B)>0。那么在事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的条件概率为：”

• 随机变量

• σ-代数

• 叶俊 赵衡秀. 《概率论与数理统计》. 清华大学出版社. 2005. ISBN 9787302095668.