计算期望值
假设T是收集所有n种赠券的次数, 是在收集了第i-1种赠券以后,到收集到第i种赠券所花的次数,那么T和 都是随机变量。在收集到i-1种赠券后能再找到“新”一种赠券的概率是 ,所以 是一种几何分布,并有期望值 。根据期望值的线性性质,
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其中 是调和数,根据其近似值,可化约为:
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其中 是欧拉-马歇罗尼常数.
那么,可用马尔可夫不等式求取概率的上限:
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方差
基于 相互独立的特性,则有:
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最末一行的等式来自黎曼ζ函数的巴塞尔问题。此式继而可用切比雪夫不等式求取概率上限:
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尾部估算
我们亦可用以下方法求另一个的上限:假设 表示在首r次收集中未有见到第i种赠券,则
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所以,若 ,则有 .
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用生成函数的解法
另一种解决赠券收集问题的方法是用生成函数。
观察得出,赠券收集的过程必然如下:
- 收集第一张赠券,其出现的概率是
- 收集了若干张第一种赠券
- 收集到一张第二种赠券,其出现的概率是
- 收集了若干张第一种或第二种赠券
- 收集到一张第三种赠券,其出现的概率是
- 收集了若干张第一种、第二种或第三种赠券
- 收集到一张第四种赠券,其出现的概率是
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- 收集到一张最后一种赠券,其出现的概率是
若某一刻已若干种赠券,再收集到一张已重复的赠券的概率是p,那么,再收集到m张已重复的赠券的概率就是 。则就此部分而言,有关m的概率母函数(PGF)是
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若将上述收集过程分割为多个阶段,则整个收集过程所花的时间的概率母函数为各部分的乘积,亦即
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那么,根据概率生成函数的特性,总收集次数T的期望值是
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而某一T的概率则是
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计算E(T)可先化简 为
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因为
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所以
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故此可得出
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其中的连加部分可化简:
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所以得出:
用概率生成函数可同时求取变异量。变异量可写作
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其中
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故得出:
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