长球波函数

在数学中，长球波函数由一个限时、限频、与第二个限时的函数相乘而成。假定${\displaystyle Q_{T}}$表示一个切截时间的运算器，且${\displaystyle x=Q_{T}x}$，则x必为有限时间区间的函数，当x在${\displaystyle [-T/2;T/2]}$的区间内。同理，假定${\displaystyle P_{W}}$表示一个理想的低频滤波器，且${\displaystyle x=P_{W}x}$，则x必为有限带宽区间的函数，当x在${\displaystyle [-W;W]}$的区间内。透过组合上述运算子，使得${\displaystyle Q_{T}P_{W}Q_{T}}$转变成线性、有界且自伴的运算式。对于${\displaystyle n=1,2,\ldots }$，我们假设${\displaystyle \psi _{n}}$为第n项的本征函数，定义下列函式

${\displaystyle \ Q_{T}P_{W}Q_{T}\psi _{n}=\lambda _{n}\psi _{n},}$

其中${\displaystyle \{\lambda _{n}\}_{n}}$为对应的本征值。此时限函数${\displaystyle \{\psi _{n}\}_{n}}$即为长球波函数(PSWFs).在此领域中，几个非常重要的先驱文章由Slepian and Pollak,^[1] Landau and Pollak,^[2][3] and Slepian.^[4][5]所提出。

这些函数有些不同的意涵，当在解亥姆霍兹方程${\displaystyle \Delta \Phi +k^{2}\Phi =0}$，透过在长球面坐标系做变数分离，使得${\displaystyle (\xi ,\eta ,\phi )}$各代表：

${\displaystyle \ x=(d/2)\xi \eta ,}$

${\displaystyle \ y=(d/2){\sqrt {(\xi ^{2}-1)(1-\eta ^{2})}}\cos \phi ,}$

${\displaystyle \ z=(d/2){\sqrt {(\xi ^{2}-1)(1-\eta ^{2})}}\sin \phi ,}$

${\displaystyle \ \xi >=1}$ and ${\displaystyle |\eta |<=1}$.

得到解${\displaystyle \Phi (\xi ,\eta ,\phi )}$为长球波函数${\displaystyle R_{mn}(c,\xi )}$与角球波函数${\displaystyle S_{mn}(c,\eta )}$的成积乘上${\displaystyle e^{im\phi }}$. 这里的变数c可定义为${\displaystyle c=kd/2}$, with ${\displaystyle d}$为长球的椭圆截面的两焦点的距离。

径向波(The radial wave function)${\displaystyle R_{mn}(c,\xi )}$满足线性常微分方程:

${\displaystyle \ (\xi ^{2}-1){\frac {d^{2}R_{mn}(c,\xi )}{d\xi ^{2}}}+2\xi {\frac {dR_{mn}(c,\xi )}{d\xi }}-\left(\lambda _{mn}(c)-c^{2}\xi ^{2}+{\frac {m^{2}}{\xi ^{2}-1}}\right){R_{mn}(c,\xi )}=0}$

此本征值${\displaystyle \lambda _{mn}(c)}$在Sturm-Liouville 微分方程中已被固定，透过设定${\displaystyle {R_{mn}(c,\xi )}}$为有限函数，当 ${\displaystyle |\xi |\to 1_{+}}$.

角波函数满足下列微分方程：

${\displaystyle \ (\eta ^{2}-1){\frac {d^{2}S_{mn}(c,\eta )}{d\eta ^{2}}}+2\eta {\frac {dS_{mn}(c,\eta )}{d\eta }}-\left(\lambda _{mn}(c)-c^{2}\eta ^{2}+{\frac {m^{2}}{\eta ^{2}-1}}\right){S_{mn}(c,\eta )}=0}$

这跟径向波函数式为同样的微分方程。然而，这两式的变数的范围是不同的(在径向波函数中${\displaystyle \xi >=1}$)，在角波函数中${\displaystyle |\eta |<=1}$)。

当给定${\displaystyle c=0}$，这两个微分方程可以简化成满足伴随勒让德多项式的式子。当给定${\displaystyle c\neq 0}$，角波函数可被展开成勒让德级数。

注意，如果我们将角波函数写成${\displaystyle S_{mn}(c,\eta )=(1-\eta ^{2})^{m/2}Y_{mn}(c,\eta )}$，函数${\displaystyle Y_{mn}(c,\eta )}$将满足以下线性微分方程：

${\displaystyle \ (1-\eta ^{2}){\frac {d^{2}Y_{mn}(c,\eta )}{d\eta ^{2}}}-2(m+1)\eta {\frac {dY_{mn}(c,\eta )}{d\eta }}+\left(c^{2}\eta ^{2}+m(m+1)-\lambda _{mn}(c)\right){Y_{mn}(c,\eta )}=0,}$

此函数为球波函数。这个辅助方程式在Stratton^[6] 1935年的文章被当作例子。

现存不少不同的球函数标准化的方法，在Abramowitz and Stegun.^[7]的文章中有整理的表格。Abramowitz跟Stegun(以及现在的相关文章)都沿用Flammer当初提出来的符号^[8]。

一开始，球波函数是由C. Niven,^[9]提出，他在球座标上引入Helmholtz方程式。许多专题论文已经探讨出球波函数的很多面向，例如Strutt,^[10] Stratton et al.,^[11] Meixner and Schafke,^[12] and Flammer.^[8]等人的作品。

Flammer^[8]提供了一个完整的讨论，计算出长球与扁球的本征值、角波函数与径函数。许多计算机程序已经因应发展出来，其中包含King与其团队,^[13] Patz和Van Buren,^[14] Baier与其团队,^[15] Zhang和Jin,^[16] Thompson,^[17]、Falloon.^[18] Van Buren和Boisvert^[19][20]最近发展出新的方法去计算出长球波函数，延伸了数值解的能力，能运算极广的变数范围。Fortran源代码结合了新的结果与传统的方法，可见于http://www.mathieuandspheroidalwavefunctions.com.。 （页面存档备份，存于互联网档案馆）

Flammer,^[8] Hunter,^[21][22] Hanish et al.,^[23][24][25] and Van Buren et al.^[26]等人也提出了数值解的整理表格。

NIST提供的DLMF(Digital Library of Mathematical Functions)(http://dlmf.nist.gov)是個了解球波函數的良好資源。^{[永久失效链接]}

关于值域落在单位球的表面的长球波函数，我们通称为"Slepian functions"^[27] (另见“频谱集中问题”)。这函数存在非常多的应用，像是大地测量^[28]以及宇宙学.^[29]