长球面坐标系(英语:Prolate spheroidal coordinates)是一种三维正交坐标系。设定二维椭圆坐标系包含于 xz-平面;两个焦点 与 的直角坐标分别为 与 。将椭圆坐标系绕着 z-轴旋转,则可以得到长球面坐标系。(假若,绕着 y-轴旋转,则可以得到扁球面坐标系。)椭圆坐标系的两个焦点,包含于 z-轴。长球面坐标系可以被视为椭球坐标系的极限案例,其两个最短的半轴的长度相同。
图 1 )长球面坐标系的几个
坐标曲面。红色长球面的
。蓝色半个双叶双曲面的
。黄色半平面的
(黄色半平面与 xz-半平面之间的
二面角角度是
)。z-轴是垂直的,以白色表示。 x-轴以绿色表示。三个坐标曲面相交于点 P (以黑色的圆球表示),
直角坐标大约为
。
图 2 )两个焦点在 z-轴的椭圆坐标系绘图。横轴是 x-轴,竖轴是 z-轴。红色椭圆(
-等值线)变成上图的红色长球面(
坐标曲面),而
青蓝色双曲线(
-等值线)则变成蓝色双叶双曲面(
坐标曲面)。
基本定义
在三维空间里,一个点 P 的长球面坐标 常见的定义是
- 、
- 、
- ;
其中, 是个实数,弧度 ,弧度 。
坐标曲面
坐标曲面是长球面:
- 。
每一个长球面都是由椭圆绕着 z-轴旋转形成的。椭球面与 xz-平面的相交,是一个椭圆。沿着 x-轴,椭圆的短半轴长度为 ,沿着 z-轴,椭圆的长半轴长度为 。椭圆的焦点都包含于 z-轴,z-坐标分别为 。
坐标曲面是半个旋转双叶双曲面:
- 。
当 时,坐标曲面在 xy-平面以上;当 时,坐标曲面在 xy-平面以下。
坐标曲面是个半平面 :
- 。
标度因子
长球面坐标 与 的标度因子相等:
- 。
方位角 的标度因子为
- 。
无穷小体积元素是
- 。
拉普拉斯算子是
- 。
其它微分算子,像 , ,都可以用 坐标表示,只要将标度因子代入在正交坐标系条目内对应的一般公式。
应用
当边界条件涉及长球面时,长球面坐标时常可以用来解析偏微分方程式。例如,位置分别在 z-轴两个焦点的电子,会产生怎样的静电场?一个关于氢离子 的问题是,当移动于两个正价的原子核中间时,一个电子的波函数是什么?另外一个很实际的问题是,两个小电极尖端之间的电场是什么?极限案例包括一根电线段 ( ) 产生的电场,缺了一线段的一根电线 ( ) 产生的电场。
第二种表述
图 3 )第二种长球面坐标系
的三个
坐标曲面。红色长球面的
坐标曲面。蓝色半个旋转双曲面的
坐标曲面 。黄色半平面的
坐标曲面 (黄色半平面与 xz-半平面之间的
二面角角度是
)。z-轴是垂直的,以白色表示。 x-轴以绿色表示。三个坐标曲面相交于点 P (以黑色的圆球表示)。
直角坐标大约为
。
另外,还有一种比较有几何直觉性的扁球面坐标系 :
- 、
- 、
- 。
其中, 是个实数, 是个实数,弧度 。
与扁球面坐标系不同,长球面坐标系并没有简并。在三维空间里,长球面坐标系与直角坐标有一一对应关系:
- 、
- 、
- 。
坐标曲面
坐标曲面是长球面:
- 。
每一个长球面都是由椭圆绕着 z-轴旋转形成的。椭球面与 xz-平面的相交,是一个椭圆。沿着 x-轴,椭圆的短半轴长度为 ,沿着 z-轴,椭圆的长半轴长度为 。椭圆的焦点都包含于 z-轴,z-坐标分别为 。
坐标曲面是半个旋转双曲面:
- 。
当 时,坐标曲面在 xy-平面以上;当 时,坐标曲面在 xy-平面以下。
坐标曲面是个半平面 :
- 。
任何一点 P 与焦点 , 的距离 , ,可以一个很简单的公式表示:
- 、
- 。
所以,点 P 与焦点 的距离 是 ,点 P 与焦点 的距离 是 。(回想 , 都是在 z-轴,分别位于 , 。)
标度因子
第二种长球面坐标 的标度因子分别为:
- 、
- 、
- 。
无穷小体积元素是
- 。
拉普拉斯算子是
- 。
其它微分算子,像 , ,都可以用 坐标表示,只要将标度因子代入在正交坐标系条目内对应的一般公式。
应用
如同球坐标解答的形式为球谐函数,拉普拉斯方程可以用分离变数法来求解,得到形式为长扁球谐函数的答案。假若,边界条件涉及长球面,我们可以优先选择这方法来解析。
参阅
参考目录
不按照命名常规
- Morse PM, Feshbach H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. 1953: p. 661. 采用 、 、 。
- Zwillinger D. Handbook of Integration. Boston, MA: Jones and Bartlett. 1992: p. 114. ISBN 0-86720-293-9. 如同 Morse & Feshbach (1953) ,采用 来替代 。
- Smythe, WR. Static and Dynamic Electricity 3rd ed. New York: McGraw-Hill. 1968.
- Sauer R, Szabó I. Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. New York: Springer Verlag. 1967: p. 97. 采用混合坐标 、 、 。
按照命名常规
- Korn GA, Korn TM. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. 1961: p. 177. 采用第一种表述 ,又加介绍了简并的第三种表述 。
- Margenau H, Murphy GM. The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand. 1956: p. 180–182. 如同 Korn and Korn (1961) ,但采用余纬度 来替代纬度 。
- Moon PH, Spencer DE. Oblate spheroidal coordinates (η, θ, ψ). Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions corrected 2nd ed., 3rd print ed. New York: Springer Verlag. 1988: pp. 28–30 (Table 1.06). ISBN 0-387-02732-7. Moon and Spencer 采用余纬度常规 ,又改名 为 。
特异命名常规
- Landau LD, Lifshitz EM, Pitaevskii LP. Electrodynamics of Continuous Media (Volume 8 of the Course of Theoretical Physics) 2nd edition. New York: Pergamon Press. 1984: pp. 19–29. ISBN 978-0750626347. 视长球面坐标系为椭球坐标系的极限。