Β函数,又称为贝塔函数或第一类欧拉积分,是一个特殊函数,由下式定义:
其中。
性质
Β函数具有以下对称性质:
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当x,y是正整数的时候,我们可以从伽马函数定义得到如下式子:
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它有许多其它的形式,包括:
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其中 是伽玛函数。
就像伽玛函数描述了阶乘一样,我们也可以用贝塔函数来定义二项式系数:
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伽玛函数与贝塔函数之间的关系
为了推出两种函数之间的关系,我们把两个阶乘的乘积写为:
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现在,设 , ,因此:
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利用变量代换 和 ,可得:
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因此,有:
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导数
贝塔函数的导数是:
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其中 是双伽玛函数。
估计
斯特灵公式给出了一个用来近似计算贝塔函数的公式:
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不完全贝塔函数
不完全贝塔函数是贝塔函数的一个推广,把贝塔函数中的定积分用不定积分来代替,就像不完全伽玛函数是伽玛函数的推广一样。
不完全贝塔函数定义为:
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当x = 1,上式即化为贝塔函数。
正则不完全贝塔函数(或简称正则贝塔函数)由贝塔函数和不完全贝塔函数来定义:
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当a和b是整数时,计算以上的积分(可以用分部积分法),可得:
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正则不完全贝塔函数是Β分布的累积分布函数,可由二项式分布描述一个实随机变量X的几率分布:
其中p为试验成功几率,n为样本数。
性质
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参见
参考文献
- M. Zelen and N. C. Severo. in Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972. (See §6.2, 6.6, and 26.5) (页面存档备份,存于互联网档案馆)
- W. H. Press, B. P. Flannery, S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling. Numerical Recipes in C. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1992. Second edition. (See section 6.4)
- 用拉普拉斯变换来计算贝塔函数. PlanetMath.
外部链接