双伽玛函数是伽玛函数的对数导数。
复平面上的双伽玛函数
。点
的颜色与
的值有关。强烈的颜色意味着接近于零的值,而色彩则与
辐角有关。
它是第一个多伽玛函数。
与调和数的关系
双伽玛函数,通常用ψ0(x)、ψ0(x)或 来表示,与调和数有以下的关系:
-
其中Hn是第n个调和数,γ是欧拉-马歇罗尼常数。对于半整数的值,它可以表示为:
-
积分表示法
它有以下的积分表示法:
-
也可以写为
-
这可以从调和数的欧拉积分公式得出。
泰勒级数
双伽玛函数有一个有理ζ级数,由z=1的泰勒级数给出。这是
- ,
当|z|<1时收敛。在这里, 是黎曼ζ函数。这个级数可以很容易从赫尔维茨ζ函数的泰勒级数推导出。
牛顿级数
双伽玛函数的牛顿级数可从欧拉积分公式得出:
-
其中 是二项式系数。
反射公式
双伽玛函数满足一个反射公式,类似于伽玛函数的反射公式:
-
递推关系
双伽玛函数满足以下的递推关系:
-
高斯和
双伽玛函数具有以下形式的高斯和:
-
其中m是整数,且 。在这里,ζ(s,q)是赫尔维茨ζ函数, 是一个伯努利多项式。乘法定理的一种特殊情况是:
-
一个推广为:
-
其中假设了q是自然数,而1-qa则不是。
高斯双伽玛定理
对于正整数 和 ,双伽玛函数可以用初等函数来表示:
-
特殊值
双伽玛函数有以下的特殊值:
-
-
-
-
-
-
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参见
参考文献
- Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York. 互联网档案馆)节。
- 埃里克·韦斯坦因. Digamma function. MathWorld.