六面体
部分的六面体 | |
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正方体 |
五角锥 |
四角柱 |
双三角锥 |
在几何学中,六面体是指由六个面组成的多面体。所有面都全等、所有边等长且所有角相等的六面体称为正六面体。几何学上的正六面体是立方体,由6个正方形组成,但在抽象几何学中有另外一种具有6个面的正多面体,是由6个正五边形组成的半十二面体,但其为抽象多胞形不具有体积。其他亦存在所有面都全等但其他条件未必符合正多面体的形状,例如双三角锥和菱形六面体。其他也存在许多不规则的六面体,例如四角锥台、五角锥等。
常见的六面体
常见的六面体有正方体、四角柱、五角锥、双三角锥、三方偏方面体。
长方体
六个面都是矩形的六面体称为长方体,长方体具有每个二面角相等和每个三面角相等等特性。
平行六面体
六个面都是平行四边形的六面体称为平行六面体。当六个面都是菱形时,则具有等边多面体的性质,此时称为菱形六面体。
六面体列表
名称 | 图像 | 顶点 | 边 | 面 | 面的种类 | 对称性 | 展开图 |
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立方体 (正多面体) |
8 | 12 | 6 | 6个正方形 | Oh, [4,3], (*432) order 48 |
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长方体 | 8 | 12 | 6 | 6个矩形 | D2h, [2,2], (*222) order 8 |
||
四角柱 (柱体群) |
8 | 12 | 6 | 2个四边形 4个矩形 |
D4h, [4,2], (*422), order 16 | ||
五角锥 (锥体群) |
6 | 10 | 6 | 1个五边形 5个三角形 |
C5v, [5], (*55) | ||
四角锥台 | 8 | 12 | 6 | 2个四边形 4个梯形 |
C4v, [4], (*44) order 8 | ||
菱形六面体 | 8 | 12 | 6 | 6个菱形 | D3d, [2+,6], (2*3) order 12 | ||
三方偏方面体 | 8 | 12 | 6 | 6个四边形 | D3, [2,3]+, (223) order 6 | ||
双三角锥 | 5 | 9 | 6 | 6个三角形 | D3h, [3,2], (*223) order 12 | ||
平行六面体 | 8 | 12 | 6 | 6个平行四边形 | Ci, [2+,2+], (×) order 2 | ||
平行六面体 (由菱形组成) |
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十二面体半形 | 10 | 15 | 6 | 6个五边形 | A5, order 60 | ||
皮特里正十二面体 | 20 | 30 | 6 | 6个扭歪十边形 | A5×C2, with 120 elements | ||
皮特里正二十面体 | 12 | 30 | 6 | 6个扭歪十边形 | |||
六面形 | 2 | 6 | 6 | 6个二角形 | D6h(*666) | ||
二角反棱柱 | 4 | 8 | 6 | 2个二角形 4个三角形 |
D2d, [2+,4], (2*2), order 8 |
非凸六面体
非凸六面体 | ||
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面的种类:4.4.3.3.3.3 10条边、 6个顶点 |
面的种类:5.5.3.3.3.3 11条边、 7个顶点 |
面的种类:6.6.3.3.3.3 12条边、 8个顶点 |
退化六面体
部分六面体包含退化的面或者本身已经退化至无法拥有体积的形式。例如二角反棱柱,其2个底面为二角形,因此退化成一条棱、更进一步的退化六面体有六面形,其由6个二角形组成,本身已退化至无法拥有体积的形式,仅能以球面镶嵌的形式存在。
二角反棱柱
二角反棱柱,又称反二角柱是指底面为二角形的反棱柱,由于其两个底面皆为二角形,因此这两个面已退化成一条棱,若不计这两个退化的底面,则这个立体与四面体无异。在球面几何学中,二角反棱柱可以作为球面镶嵌,此时二角形的面能够在求面上已非退化的形式存在,而确保整个立体为六个面组成的立体,此时的二角反棱柱由2个球面二角形和4个球面三边形构成,共有6个面、8条边和4个顶点,并且可以视为扭棱的二面形或二角形二面体,在施莱夫利符号中可以用sr{2,2}来表示。
二角反棱柱。上方及下方红色的线段为退化的二角形底面。若不计这两个退化底面,则整个立体与四面体无异 |
作为球面镶嵌的二角反棱柱。计入二面形面时,二角反棱柱是一种六面体 |
六面形
六面形是一种多面形,为退化的六面体,无法拥有体积,由六个二角形组成。在球面几何学中,六面形可以在球面上以镶嵌的方式存在,表示六个镶嵌在球体上的球弓形,施莱夫利符号中利用{2,6}来表示,其对偶多面体是六边形二面体。
六面形由六个二角形组成,每个顶点都是六个二角形的公共顶点。正六面形的每个面都是正二角形,且每个顶点都是六个正二角形的公共顶点,因此正六面形也可以视为一种正多面体,但是因为其已退化,因此不会与帕雷托立体一同讨论。
六面形具有D6h, [2,6], (*226)的对称性和D6, [2,6]+的旋转对称性,且阶数为24,在考克斯特符号中用 表示,其对称性与六角柱相同,因此六角柱也可以视为一种与六面形相关的立体,因为六角柱可以经由六面形透过截角变换构造。
拓朴学中的六面体
在所有凸六面体当中,共有七种拓朴结构有明显差异的凸六面体[1][2][3][4][5] 。其中有2中互为镜射像。
双三角锥 36 9 E, 5 V |
四角反楔体。 有一个手性镜像 面的种类:4.4.3.3.3.3 10条边, 6个顶点 |
面的种类:4.4.4.4.3.3 11条边, 7个顶点 |
五角柱 面的种类:5.35 10条边, 6个顶点 |
面的种类:5.4.4.3.3.3 11条边, 7个顶点 |
面的种类:5.5.4.4.3.3 12条边, 8个顶点 |
参考文献
- ^ Anatole Beck, Michael Bleicher, Donald Crowe. Excursions into Mathematics: 29–30. 1969.
- ^ Counting polyhedra (页面存档备份,存于互联网档案馆) numericana.com [2016-1-10]
- ^ Martin Gardner. Denkspiele von anderen Planeten. München: Hugendubel. 1986: 134. ISBN 3-88034-295-4.
- ^ Weisstein, Eric W. (编). Hexahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语).
- ^ Gardner, M. "Find the Hexahedrons." §19.9 in Martin Gardner's New Mathematical Diversions from Scientific American. New York: Simon and Schuster, pp. 224-225 and 233, 1966.
外部链接
- Polyhedra with 4-7 Faces by Steven Dutch