抛物柱面坐标系

直角坐标 ${\displaystyle (x,\ y,\ z)}$  可以用抛物柱面坐标 ${\displaystyle (\sigma ,\ \tau ,\ z)}$  表示为

${\displaystyle x=\sigma \tau }$  、

${\displaystyle y={\frac {1}{2}}\left(\tau ^{2}-\sigma ^{2}\right)}$  、

${\displaystyle z=z}$  ；

其中，${\displaystyle \sigma \geq 0}$  ，${\displaystyle \tau \geq 0}$  。

坐标 ${\displaystyle \sigma }$  为常数的曲线形成共焦的，凹性往 +y-轴的抛物柱面：

${\displaystyle 2y={\frac {x^{2}}{\sigma ^{2}}}-\sigma ^{2}}$  ，

而坐标 ${\displaystyle \tau }$  为常数的曲线形成共焦的，凹性往 -y-轴的抛物柱面：

${\displaystyle 2y=-{\frac {x^{2}}{\tau ^{2}}}+\tau ^{2}}$  。

这些抛物柱面的焦线的位置都在 z-轴。

径向距 ${\displaystyle r}$  的公式为

${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}={\frac {1}{2}}\left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)}$ 。

当解析经典力学的反平方连心力问题时，假若采用抛物柱面坐标的哈密顿-亚可比方程式，则会用到这很有用的公式。参阅 拉普拉斯-龙格-冷次向量。

抛物柱面坐标 ${\displaystyle \sigma }$  与 ${\displaystyle \tau }$  的标度因子相等；而 ${\displaystyle z}$  的标度因子是 1 ：

${\displaystyle h_{\sigma }=h_{\tau }={\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}}$  、

${\displaystyle h_{z}=1}$  。

无穷小体积元素是

${\displaystyle dV=\left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)d\sigma d\tau dz}$  。

拉普拉斯算子是

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \sigma ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \tau ^{2}}}\right)+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial z^{2}}}}$ 。

其它微分算子，像 ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$  、${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$  ，都可以用 ${\displaystyle (\sigma ,\ \tau ,\ z)}$  坐标表示，只要将标度因子代入在正交坐标系条目内对应的一般公式。

抛物柱面坐标有一个经典的应用，这是在解析像拉普拉斯方程或亥姆霍兹方程这类的偏微分方程式。在这些方程式里，抛物柱面坐标允许分离变数法的使用。个典型的例题是，有一块半无限的平板导体，请问其周围的电场为什么？应用抛物柱面坐标，我们可以精致地分析这例题。

• Philip M. Morse, Herman Feshbach. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. 1953: p. 658.   引文格式1维护：冗余文本 (link)

• Henry Margenau, Murphy GM. The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand. 1956: pp. 186–187.  引文格式1维护：冗余文本 (link)

• Korn GA, Korn TM. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. 1961: p. 181. ASIN B0000CKZX7.  引文格式1维护：冗余文本 (link)

• Sauer R, Szabó I. Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. New York: Springer Verlag. 1967: p. 96.  引文格式1维护：冗余文本 (link)

• Zwillinger D. Handbook of Integration. Boston, MA: Jones and Bartlett. 1992: p. 114. ISBN 0-86720-293-9.  引文格式1维护：冗余文本 (link) Same as Morse & Feshbach (1953), substituting u_k for ξ_k。

• Moon P, Spencer DE. Parabolic-Cylinder Coordinates (μ, ν, z). Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions corrected 2nd ed., 3rd print ed. New York: Springer-Verlag. 1988: pp. 21–24 (Table 1.04). ISBN 978-0387184302.  引文格式1维护：冗余文本 (link)

• 数学世界的抛物柱面坐标系页面 （页面存档备份，存于互联网档案馆）